數(shù)學(xué)規(guī)律到底是一種客觀(guān)實(shí)在，還是數(shù)學(xué)家發(fā)明出來(lái)的一種游戲？這是一個(gè)很難回答的問(wèn)題 。數(shù)學(xué)家對(duì)他們研究的對(duì)象往往持有兩種互不相容的觀(guān)點(diǎn) 。
例如，素?cái)?shù)之間存在哥德巴赫猜想所揭示的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們還在不斷地發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系 。但是，這一猜想（數(shù)學(xué)對(duì)象）是不是獨(dú)立于人類(lèi)存在的呢？
如果數(shù)學(xué)對(duì)象是真實(shí)的客體，那為什么不能被觸摸，不能與它們互動(dòng)？這些問(wèn)題常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)家做出這種假設(shè)：事實(shí)上，數(shù)學(xué)對(duì)象的世界是虛構(gòu)的 。
數(shù)學(xué)概念的游戲
當(dāng)我告訴別人我是一名數(shù)學(xué)家時(shí)，最讓人感到奇怪的反應(yīng)之一就是：“我真的很喜歡數(shù)學(xué)課，因?yàn)檫@里的一切要么是對(duì)的要么是錯(cuò)的，不存在含糊不清或者不確定性 。”對(duì)此，我總是支支吾吾地回應(yīng) 。事實(shí)上，并不是每個(gè)人都喜歡數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，而我也不想打擊人們對(duì)數(shù)學(xué)的積極性 。其實(shí)，數(shù)學(xué)也充滿(mǎn)了不確定性，只不過(guò)數(shù)學(xué)自身很好地隱藏住了這種不確定性 。
我當(dāng)然理解那種認(rèn)為數(shù)學(xué)不存在不確定性的觀(guān)點(diǎn) 。比如說(shuō)，如果老師問(wèn)你，7是否為一個(gè)素?cái)?shù)，那答案肯定是“是” 。因?yàn)楦鶕?jù)定義，素?cái)?shù)是一個(gè)大于1且只能被自身和1整除的整數(shù)，2、3、5、7、11、13等都是素?cái)?shù)，所以7是素?cái)?shù)是非常確定的 。
在過(guò)去幾千年中，在全世界的任何地方、任何時(shí)候、任何數(shù)學(xué)老師都得承認(rèn)，“7是素?cái)?shù)”這個(gè)說(shuō)法是正確的，而不會(huì)給你的回答打叉 。然而，很少有其他學(xué)科可以像數(shù)學(xué)這樣獲得如此令人難以置信的共識(shí) 。但是，如果你問(wèn)100位數(shù)學(xué)家這些數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)可以用什么來(lái)解釋?zhuān)銋s可能得到100個(gè)不同的答案 。數(shù)字7可能真的只是作為一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象而存在，而素?cái)?shù)性質(zhì)是該對(duì)象的一個(gè)特征 。又或者，素?cái)?shù)這個(gè)概念本身可能是一個(gè)數(shù)學(xué)家精心設(shè)計(jì)的游戲 。換句話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)家們能夠一致同意一個(gè)命題是正確還是錯(cuò)誤的，但他們不能就這個(gè)命題的本質(zhì)達(dá)成一致意見(jiàn) 。
在一定程度上，這些爭(zhēng)議是一個(gè)簡(jiǎn)單的哲學(xué)問(wèn)題：數(shù)學(xué)到底是由人類(lèi)發(fā)現(xiàn)的客觀(guān)規(guī)律，還是依賴(lài)于主觀(guān)愿望的發(fā)明？也許7是一個(gè)獨(dú)立于我們的真實(shí)客體，但它的本質(zhì)是什么卻是數(shù)學(xué)家目前還在探索中的事物 。或許它是人們想象中的虛構(gòu)之物，其定義和屬性是靈活可變的 。事實(shí)上，數(shù)學(xué)研究的這種行為激發(fā)了一種與哲學(xué)上的二元論相似的觀(guān)點(diǎn)，在該觀(guān)點(diǎn)中，數(shù)學(xué)是人類(lèi)的發(fā)明，也是人類(lèi)的發(fā)現(xiàn) 。
這一切在我看來(lái)有點(diǎn)像即興表演的戲劇 。數(shù)學(xué)家構(gòu)造了一個(gè)由少數(shù)字符或客體構(gòu)成的數(shù)學(xué)背景舞臺(tái)，以及一些互相作用的規(guī)則，然后看這些數(shù)學(xué)對(duì)象在這種背景下如何發(fā)展演變 。結(jié)果是這些字符演員們完全獨(dú)立于數(shù)學(xué)家的意圖，迅速發(fā)展出令人驚訝的特性和關(guān)系 。然而，無(wú)論誰(shuí)來(lái)導(dǎo)演這場(chǎng)劇，結(jié)局總是一樣的 。正是這種結(jié)局的必然性賦予了數(shù)學(xué)學(xué)科強(qiáng)大的凝聚力 。關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和數(shù)學(xué)知識(shí)獲取的難題還隱藏著，沒(méi)被發(fā)現(xiàn) 。
真理與證明
我們?nèi)绾闻袛鄶?shù)學(xué)命題是否正確？跟自然科學(xué)家通常通過(guò)從觀(guān)測(cè)自然現(xiàn)象來(lái)推斷自然界的基本原理不同，數(shù)學(xué)家是從數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)則開(kāi)始，嚴(yán)格地推導(dǎo)出結(jié)論 。這種演繹過(guò)程被稱(chēng)為證明 。這個(gè)過(guò)程通常是從比較簡(jiǎn)單的前提出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)雜的結(jié)論 。初看起來(lái)，數(shù)學(xué)證明過(guò)程似乎是數(shù)學(xué)家之間取得共識(shí)的關(guān)鍵因素 。
但證明僅賦予了數(shù)學(xué)基于某些條件才成立的真理，也就是說(shuō)結(jié)論的真實(shí)性取決于前提假設(shè)的真實(shí)性 。有一個(gè)普遍觀(guān)點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)家之間的共識(shí)是由基于證明的論證結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的 。證明基于某些核心假設(shè)，其他的結(jié)論都依賴(lài)于這些假設(shè) 。這就提出了一個(gè)問(wèn)題：這些核心假設(shè)和想法從何而來(lái)？
其實(shí)，數(shù)學(xué)最重要的一點(diǎn)，通常是有用性 。例如，我們需要數(shù)字，以便我們可以計(jì)算牛的頭數(shù)，測(cè)量田地的面積 。有時(shí)，最初的假設(shè)是具有審美趣味的 。例如，我們可以發(fā)明一種新的算術(shù)系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中，一個(gè)負(fù)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)就是一個(gè)負(fù)數(shù) 。但是，在這個(gè)系統(tǒng)中，那些直觀(guān)和理想的數(shù)軸屬性將會(huì)消失 。數(shù)學(xué)家對(duì)基本對(duì)象（例如負(fù)數(shù)）及其性質(zhì)（例如將它們相乘的結(jié)果）的判斷需要與一個(gè)更大的數(shù)學(xué)框架自洽 。因此，在證明一個(gè)新定理之前，數(shù)學(xué)家需要觀(guān)看這出戲劇的發(fā)展 。只有這樣，數(shù)學(xué)家才能知道要證明什么：什么才是真正不變且必然的結(jié)論 。
因此，數(shù)學(xué)的發(fā)展有三個(gè)階段：發(fā)明、發(fā)現(xiàn)和證明 。
數(shù)學(xué)中的角色幾乎總是由非常簡(jiǎn)單的對(duì)象構(gòu)成 。例如，圓被定義為與中心點(diǎn)等距的所有點(diǎn)的集合 。因此，圓的定義依賴(lài)于一個(gè)點(diǎn)的定義（這是一種非常簡(jiǎn)單的對(duì)象類(lèi)型）以及兩個(gè)點(diǎn)之間的距離 。類(lèi)似地，重復(fù)加法的過(guò)程就是乘法；一個(gè)數(shù)重復(fù)自己乘自己的乘法就是乘方 。因此，乘方的屬性繼承了乘法的屬性 。反過(guò)來(lái)，我們也可以通過(guò)研究被定義得更簡(jiǎn)單的對(duì)象來(lái)了解更復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象 。這導(dǎo)致一些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家將數(shù)學(xué)設(shè)想為倒金字塔，其中許多復(fù)雜的對(duì)象和想法都是從位于狹窄塔底的簡(jiǎn)單概念中推導(dǎo)出來(lái)的 。
在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，一群數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開(kāi)始思考，到底是什么托起了這個(gè)沉重的數(shù)學(xué)倒金字塔 。他們極度擔(dān)心數(shù)學(xué)沒(méi)有基礎(chǔ)——沒(méi)有任何東西支持1+1="2"這樣的數(shù)學(xué)結(jié)論的真實(shí)性 。
一些數(shù)學(xué)家希望通過(guò)一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的公理集合，從中可以得出所有數(shù)學(xué)真理 。然而，美國(guó)數(shù)學(xué)家科特·哥德?tīng)枺↘urt Godel）在20世紀(jì)30年代的工作經(jīng)常被用來(lái)證明這種公理化系統(tǒng)是不可能的 。首先，哥德?tīng)柋砻鳎魏魏侠淼墓硐到y(tǒng)都是不完備的，這個(gè)系統(tǒng)所存在的數(shù)學(xué)表達(dá)既不能被證明，也不能被反駁 。哥德?tīng)栮P(guān)于數(shù)學(xué)不完備性的定理給了數(shù)學(xué)一個(gè)毀滅性的打擊 。本來(lái)大家覺(jué)得數(shù)學(xué)公理的基本系統(tǒng)應(yīng)該是一致的，沒(méi)有既可以被證明又可以被反駁的表述 。更重要的是，以前的數(shù)學(xué)家覺(jué)得，數(shù)學(xué)系統(tǒng)應(yīng)該能夠證明它自己的一致性 。但哥德?tīng)柖ɡ碇赋鲞@是不可能的 。
尋找數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探索過(guò)程確實(shí)導(dǎo)致了一個(gè)基本公理系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)系統(tǒng)被稱(chēng)為澤梅洛-弗雷蒙（Zermelo-Fraenkel）集合論，人們可以從中得到最有趣的數(shù)學(xué) 。基于集合論，不但數(shù)學(xué)變得非常簡(jiǎn)單而清晰，大部分的數(shù)學(xué)知識(shí)也有了穩(wěn)固的基礎(chǔ) 。
在整個(gè)20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家爭(zhēng)論著是否應(yīng)該擴(kuò)展?jié)擅仿?弗雷蒙集合論，即所謂的選擇公理：如果你有無(wú)數(shù)個(gè)包含對(duì)象的集合，那么你可以從每個(gè)集合中選擇一個(gè)對(duì)象來(lái)形成一個(gè)新的集合 。比如有一排桶，每個(gè)桶中有一組球，還有一個(gè)空桶 。從排成一排的每個(gè)桶中，你可以選擇一個(gè)球并將其放入空桶中 。選擇公理允許你使用無(wú)數(shù)排的桶進(jìn)行操作 。這種方法不僅具有直觀(guān)的吸引力，可以用來(lái)證明一些有用的數(shù)學(xué)表述，還暗示了一些奇怪的東西，比如Banach-Tarski悖論，它表明你可以將一個(gè)實(shí)心球分成幾個(gè)部分，并將這些部分重新組裝成兩個(gè)新的實(shí)心球，每個(gè)球的大小與原來(lái)的球相等 。換句話(huà)說(shuō)，你可以獲得兩個(gè)球 。選擇公理蘊(yùn)含了許多重要的表述，但也帶來(lái)了額外的問(wèn)題，包括了一些奇怪的不良表述 。但是如果沒(méi)有選擇公理，數(shù)學(xué)似乎缺少了一些關(guān)鍵的本質(zhì)性的內(nèi)容 。
大部分現(xiàn)代數(shù)學(xué)使用著一套隨時(shí)間推移而逐漸形成的標(biāo)準(zhǔn)定義和慣例 。例如，數(shù)學(xué)家曾經(jīng)將1視為素?cái)?shù)，但現(xiàn)在不是了 。然而，他們?nèi)匀辉跔?zhēng)論0是否應(yīng)該被理解為自然數(shù)（有時(shí)稱(chēng)為計(jì)數(shù)數(shù)字，自然數(shù)被定義為0、1、2、3……或1、2、3……這取決于你問(wèn)誰(shuí)） 。哪些字符或發(fā)明能成為數(shù)學(xué)經(jīng)典的一部分，通常取決于結(jié)果的有趣程度，而這種觀(guān)察可能需要數(shù)年時(shí)間 。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)知識(shí)是累積的 。
【數(shù)學(xué)是可靠的嗎 數(shù)學(xué)是真實(shí)的嗎】發(fā)現(xiàn)或者發(fā)明
如前所述，數(shù)學(xué)家一開(kāi)始考慮在特定應(yīng)用條件下來(lái)定義數(shù)學(xué)對(duì)象和公理 。然而，隨著時(shí)間推移，數(shù)學(xué)發(fā)展到了的第二個(gè)階段——發(fā)現(xiàn) 。例如，素?cái)?shù)是乘法的基石，是最小的乘法單位 。如果一個(gè)數(shù)不能寫(xiě)為兩個(gè)較小數(shù)的乘積，則此數(shù)是素?cái)?shù) 。所有非素?cái)?shù)（合數(shù)）都可以通過(guò)一組唯一的素?cái)?shù)相乘得到 。
1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）假設(shè)每個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和 。如果你選擇任意一個(gè)偶數(shù)，那么哥德巴赫猜想指出，你都可以找到兩個(gè)素?cái)?shù)相加得到這個(gè)偶數(shù) 。如果你選擇8，這兩個(gè)素?cái)?shù)是3和5；如果你選擇42，則可以為13+29 。哥德巴赫猜想之所以令人驚訝，是因?yàn)楸M管素?cái)?shù)起初被設(shè)計(jì)成相乘，但這個(gè)猜想表明，素?cái)?shù)之和與偶數(shù)之間存在令人難以置信的關(guān)系 。
大量證據(jù)表明，哥德巴赫猜想是成立的 。在此后的300年中，計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算證實(shí)，這個(gè)猜想對(duì)小于〖4×10〗^18的所有偶數(shù)都是正確的 。但是，這一證據(jù)不足以讓數(shù)學(xué)家們宣稱(chēng)哥德巴赫猜想是正確的，因?yàn)闊o(wú)論計(jì)算機(jī)檢查了多少個(gè)偶數(shù)，但偶數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，因此總可能存在一個(gè)反例潛伏在角落里——一個(gè)不是兩個(gè)素?cái)?shù)之和的偶數(shù) 。
想象一下，計(jì)算機(jī)每次找到兩個(gè)素?cái)?shù)之和為特定偶數(shù)的時(shí)候，會(huì)把這個(gè)偶數(shù)記錄下來(lái) 。到目前為止，這是一個(gè)非常長(zhǎng)的數(shù)字列表，你可以把它作為一個(gè)令人信服的理由，讓大家相信哥德巴赫猜想是對(duì)的 。但是，總有人能夠想到一個(gè)不在列表中的偶數(shù)，并詢(xún)問(wèn)你如何知道哥德巴赫猜想對(duì)于那個(gè)數(shù)字也依然成立 。不是所有（無(wú)限多個(gè)）偶數(shù)都會(huì)出現(xiàn)在列表中，因此，只有從基本原理出發(fā)，通過(guò)邏輯論證證明哥德巴赫猜想對(duì)于任何偶數(shù)都成立，才足以將這一猜想提升為一個(gè)定理 。然而，直到今天，還沒(méi)有人能夠提供這樣的證明 。
哥德巴赫猜想說(shuō)明了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)階段和證明階段之間的重要區(qū)別 。在發(fā)現(xiàn)階段，人們尋求數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)本質(zhì)則需要堅(jiān)實(shí)的證明 。
數(shù)學(xué)家需要整理數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并決定要證明什么，但它們也可能具有欺騙性 。例如，讓我們構(gòu)建一系列數(shù)字：121、1211、12111、121111、1211111等 。我們做如下一個(gè)猜想：數(shù)列中的所有數(shù)字都不是素?cái)?shù) 。為這個(gè)猜想提供證據(jù)是很容易的 。可以看到121不是素?cái)?shù)，因?yàn)?21="11"×11 。同樣，1211、12111和121111都不是素?cái)?shù) 。這種模式可以持續(xù)一段時(shí)間，但隨后它突然就出錯(cuò)了 。這個(gè)序列中的第136個(gè)數(shù)（即數(shù)字12111……111，其中有136個(gè)“1”跟在“2”后面）是素?cái)?shù) 。
數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)階段仍然是極其重要的 。比如它可以揭示哥德巴赫猜想給出的素?cái)?shù)之間的隱藏聯(lián)系 。在發(fā)現(xiàn)這種深刻聯(lián)系之前，數(shù)學(xué)家通常會(huì)對(duì)兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行研究 。一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的例子是歐拉恒等式，eiπ+1="0"，它通過(guò)數(shù)字e（自然對(duì)數(shù)的基數(shù)）將幾何常數(shù)π與數(shù)字i（代數(shù)上定義為-1的平方根）聯(lián)系起來(lái) 。這些驚人的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)美感和好奇心的一部分 。它們似乎指向一個(gè)更深層次的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，而數(shù)學(xué)家才剛剛開(kāi)始理解這些結(jié)構(gòu) 。
在這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)既能被發(fā)明又能被發(fā)現(xiàn) 。研究對(duì)象是被精確定義的，但它們具有自己的生命，會(huì)揭示意想不到的復(fù)雜性 。因此，數(shù)學(xué)對(duì)象可以被視為既是實(shí)際存在的同時(shí)又是被人為創(chuàng)造的 。正如某哲學(xué)家所寫(xiě)的那樣，“二元性對(duì)于數(shù)學(xué)家的工作方式?jīng)]有任何影響” 。
現(xiàn)實(shí)或者虛幻
數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)主義似乎是發(fā)現(xiàn)階段的哲學(xué)立場(chǎng)：數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，例如從圓和素?cái)?shù)再到矩陣和流形，是真實(shí)并且獨(dú)立于人類(lèi)思想而存在的 。就如同探索遙遠(yuǎn)星球的天文學(xué)家或研究恐龍的古生物學(xué)家，數(shù)學(xué)家是在收集對(duì)真實(shí)實(shí)體的洞見(jiàn) 。例如，證明哥德巴赫猜想成立，即為證明偶數(shù)和素?cái)?shù)之間通過(guò)加法相聯(lián)系的特定性質(zhì)，就像古生物學(xué)家可能會(huì)通過(guò)兩個(gè)物種解剖結(jié)構(gòu)之間的相關(guān)性來(lái)表明一種恐龍起源于另一種恐龍 。
現(xiàn)實(shí)主義的各種表現(xiàn)形式，如柏拉圖主義，很容易理解數(shù)學(xué)的普遍性和實(shí)用性 。每一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都具有一個(gè)性質(zhì) 。比如7，它是一個(gè)素?cái)?shù)，如同恐龍具有飛行的屬性 。一個(gè)數(shù)學(xué)定理，如兩個(gè)偶數(shù)之和為偶數(shù)——這是正確的 。因?yàn)榕紨?shù)確實(shí)存在，并且彼此之間存在特定的關(guān)系 。這就解釋了為什么跨越時(shí)間、地理和文化差異的人們普遍認(rèn)同這些數(shù)學(xué)事實(shí) 。
但有些人對(duì)現(xiàn)實(shí)主義持有反對(duì)意見(jiàn) 。他們認(rèn)為，如果數(shù)學(xué)對(duì)象真實(shí)存在，那么它們的性質(zhì)肯定是非常獨(dú)特的 。首先，數(shù)學(xué)對(duì)象非常抽象，所以你不能真正地與它們互動(dòng) 。這是一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)榭铸埬芊纸獬煽梢钥吹胶陀|摸的骨骼，行星也可以從恒星前面經(jīng)過(guò)，被天文學(xué)家觀(guān)測(cè)到，但數(shù)學(xué)上的圓是一個(gè)抽象的物體，不受空間和時(shí)間的限制 。事實(shí)上，π是圓周與圓直徑的比值，并不與蘇打水或甜甜圈有關(guān)；它指向的是一個(gè)數(shù)學(xué)上抽象的圓，其中距離是精確的，并且圓上的點(diǎn)也是無(wú)窮小的 。這樣一個(gè)完美的圓看起來(lái)在現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)法達(dá)到 。那么，如果沒(méi)有某種特殊的第六感，我們?nèi)绾尾拍芰私庥嘘P(guān)圓的事實(shí)呢？
這就是現(xiàn)實(shí)主義的困難之處——它無(wú)法解釋我們?nèi)绾沃莱橄蟮臄?shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì) 。所有這些都可能導(dǎo)致數(shù)學(xué)家從現(xiàn)實(shí)主義立場(chǎng)上退縮 。反現(xiàn)實(shí)主義把數(shù)學(xué)框定為一種純粹形式的思維練習(xí)或一部完整的小說(shuō)，很容易就能避開(kāi)認(rèn)識(shí)論的問(wèn)題 。
形式主義是一種反現(xiàn)實(shí)主義的形式，也是一種哲學(xué)觀(guān)點(diǎn) 。它主張數(shù)學(xué)就像一場(chǎng)游戲，數(shù)學(xué)家們只是在玩游戲規(guī)則——說(shuō)7是素?cái)?shù)，就好像在說(shuō)騎士是唯一能以L(fǎng)形式運(yùn)動(dòng)的國(guó)際象棋棋子 。另一種哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)是虛構(gòu)主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象是虛構(gòu)的——說(shuō)7是素?cái)?shù)，就像是在說(shuō)獨(dú)角獸是白色的 。數(shù)學(xué)在其虛構(gòu)的宇宙中存在意義，但在它之外卻沒(méi)有真正的含義 。
但是，如果數(shù)學(xué)只是被編造出來(lái)的，那么它怎么可能成為科學(xué)中必不可少的一部分呢？從量子力學(xué)到生態(tài)學(xué)模型，數(shù)學(xué)是一個(gè)廣泛而精確的科學(xué)工具 。科學(xué)家并不指望基本粒子按照國(guó)際象棋的規(guī)則移動(dòng) 。自然科學(xué)描述的重?fù)?dān)完全落在數(shù)學(xué)身上，這與游戲或虛構(gòu)是截然不同的 。
最后，這些問(wèn)題并不影響數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用 。數(shù)學(xué)家可以自由地選擇對(duì)自己職業(yè)的解釋 。在《數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)》（The Mathematical Experience）一書(shū)中，菲利普·戴維斯（Philip Davis）和魯本·赫什（Reuben Hersh）有一句名言：“典型的職業(yè)數(shù)學(xué)家平日里是柏拉圖主義者，在周末則是形式主義者 。”
推薦閱讀
- 日歷上為什有廿這個(gè)字廿這個(gè)字代表什么是什么意思 漢字廿什么意思
- 數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么
- 冰菜是怎么種出來(lái)的,冰菜怎么反復(fù)種
- 吃林蛙犯法嗎 賣(mài)林蛙違法嗎
- 在漫天風(fēng)沙里望著你遠(yuǎn)去是什么歌 原唱是誰(shuí)
- 債權(quán)人代位權(quán)的意義是什么
- 三有六化內(nèi)容是什么
- m2是多少平方，34m2是多少平方
- 干香菇用熱水泡還是冷水泡
- 保定上谷八景中,最好玩的是哪一個(gè)景點(diǎn)