黑洞為什么黑洞會發(fā)光？霍金輻射背后的物理學(xué)，最硬核的解釋( 二 ) 霍金

如果我們繼續(xù)解析u和v，這些關(guān)系將適用于所有的史瓦西黑洞時空。
為了得到史瓦西黑洞的Kruskal-Szekeres圖，我們引入了兩個新的坐標(biāo)，即：

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式7：坐標(biāo)u和v的定義。

現(xiàn)在，為了覆蓋整個圖，我們必須擴(kuò)展坐標(biāo)(u, v)。用原始坐標(biāo)(t, r)表示擴(kuò)展變量(u, v)，我們得到兩組坐標(biāo)，即：

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式8：史瓦西黑洞幾何上的兩組Kruskal-Szekeres坐標(biāo)。上對坐標(biāo)覆蓋黑洞外部(r >2m)，下對坐標(biāo)覆蓋黑洞內(nèi)部(r

Kruskal-Szekeres圖如下圖所示：

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圖5：Kruskal-Szekeres圖，其中軸為坐標(biāo)(T, R)。史瓦西黑洞時空被劃分為四個漸近區(qū)域I, II, III, IV。R為常數(shù)的曲線為雙曲線，T為常數(shù)的線為直線

請注意以下幾個重要特征：

我們知道(u,v)零測地線是斜率為π/4和-π/4的直線
由式6可知，超曲面r = const對應(yīng)于T-R平面上的下列雙曲：

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式9

由式6，對于r > 2M，我們有uv 0，這意味著方程9中的雙曲線r =常數(shù)是類時間的。對于r < 2M則相反，uv > 0，式9中的雙曲線r =常數(shù)是類空間的。
從等式6的第二個表達(dá)式中，我們可以看出，曲面t =常數(shù)是用直線表示的。對于r 2M（在黑洞內(nèi)部），時間t變成了空間坐標(biāo)。在外面，t仍然被解釋為時間。降維說，在事件視界內(nèi)，空間和時間有效地互換了!
在T的兩個值處有兩個奇點(diǎn)：

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式10：r=0對應(yīng)的兩個類空間奇點(diǎn)。

兩個r = 0曲面以外的區(qū)域不能被這些坐標(biāo)覆蓋。
量化【 黑洞|為什么黑洞會發(fā)光？霍金輻射背后的物理學(xué)，最硬核的解釋】為簡單起見，讓我們寫出二維彎曲時空中無質(zhì)量標(biāo)量場的作用：

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式11：具有度規(guī)張量g的二維彎曲時空中無質(zhì)量標(biāo)量場的作用。

對應(yīng)于S的標(biāo)量場方程可以用tortoise光錐坐標(biāo)或Kruskal-Szekeres光錐坐標(biāo)表示。在這兩種情況下，它都是兩項(xiàng)的和：

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式12：上述作用S對應(yīng)的標(biāo)量場方程，用tortoise光錐坐標(biāo)和Kruskal-Szekeres光錐坐標(biāo)表示。

這是S的正形不變性的結(jié)果。a和b是行為良好的函數(shù)。下面是一個簡單的例子：

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用tortoise光錐坐標(biāo)表示的史瓦西線元素為：

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式14：史瓦西線元，用tortoise光錐坐標(biāo)表示。

在離黑洞很遠(yuǎn)的地方，線元素變成：

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式15

我們看到，在離黑洞很遠(yuǎn)的地方，靜止觀察者的固有時間與式15中的t重合。
在量子場論中，我們通常用創(chuàng)造和湮滅算符來擴(kuò)展場：

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式16：場?的擴(kuò)展。

對應(yīng)于b湮滅算符的真空稱為Boulware真空，根據(jù)距離黑洞很遠(yuǎn)的觀察者的說法，它不包含任何粒子：

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式17：Boulware真空。

因?yàn)椋缥覀冎翱吹降模瑃ortoise光錐坐標(biāo)只覆蓋了史瓦西黑洞時空的一部分（視界外），Boulware真空在視界上有奇異的行為，因此它在物理上是無效的。此外，相應(yīng)的能量密度會在視界處發(fā)散，量子漲落會產(chǎn)生強(qiáng)烈的反向反應(yīng)，從而推翻弱擾動經(jīng)典引力場的基本假設(shè)。
與tortoise光錐坐標(biāo)相比，Kruskal-Szekeres光錐坐標(biāo)覆蓋了所有的史瓦西黑洞時空，并且在視界上定義明確。在視界附近，Kruskal-Szekeres坐標(biāo)中的線元素為：