2021，一個平平無奇的數(shù)字( 二 )

41, 43, 47, 53, ……, 1601 ，
全部是素數(shù) 。這個事實可以用下面的烏拉姆螺旋(Ulam spiral)來直觀地表示。從41開始，把自然數(shù)按照逆時針螺旋形寫在方格紙上，然后標出其中所有的素數(shù) 。我們會發(fā)現(xiàn) ，包含41的右上至左下的對角線上連續(xù)排列著很多個素數(shù) 。

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從41開始的烏拉姆螺旋，其中素數(shù)標為藍色，素數(shù)的平方標為綠色。丨圖源：Twitter賬戶Fermat's Library
注：烏拉姆(Stanislaw Ulam)是一位波蘭猶太裔數(shù)學家，在納粹入侵波蘭前夕移居美國。他參與了研制原子彈的曼哈頓工程，并在氫彈研制中發(fā)揮了關鍵作用。美英等國的氫彈構型即被命名為泰勒-烏拉姆構型。烏拉姆螺旋是他于一次會議上，聽報告過程中閑得無聊，在紙上亂畫時發(fā)現(xiàn)的。
歐拉的這個二次多項式不可能永遠得到素數(shù) ，但是接下來的很多值仍然是素數(shù)或者半素數(shù)：

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其中 P(44) 正是我們的年份2021！
用計算機很容易算出，要一直到 n=420 ，我們才會得到第一個既不是素數(shù)又不是半素數(shù)的P(n)：

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而在從n=0到n=419的總共420個P(n)中，有281個素數(shù) ， 139個半素數(shù) 。
1857年，俄國數(shù)學家布尼亞科夫斯基(Viktor Bunyakovsky)猜測，存在無窮多個正整數(shù)n ，使得P(n)是素數(shù) 。 (布尼亞科夫斯基實際上對于更為一般的多項式作出了這個猜想。 ) 這個猜想至今尚未得到證明。 1978年，波蘭數(shù)學家伊萬尼克(Henryk Iwaniec)證明了，存在無窮多個正整數(shù)n ，使得P(n)是素數(shù)或者半素數(shù) 。 (伊萬尼克對于一般的二次多項式證明了這個結論。 )

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伊萬尼克從特首梁振英手中接過2015年度邵逸夫數(shù)學獎丨圖源：邵逸夫獎
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那么，為什么數(shù)學家們要研究素數(shù)或者半素數(shù)呢？它們跟我們的生活有什么關系？能吃嗎？
答案是，它們確實跟我們的生活有著密切關系。我們今天能夠開通網(wǎng)上銀行被巨頭割韭菜，進行網(wǎng)絡購物雙十一剁手，甚至上網(wǎng)瀏覽，都要感謝素數(shù)和半素數(shù) 。究其原因，是利用了如下的性質(zhì)：把兩個數(shù)相乘很容易，把一個數(shù)分解成乘積則很難。
我們可以看看2021這個例子。如果要計算43×47 ，小學三四年級的學生就能輕松算出結果是2021 。但如果不知道其中任何一個因子，要想找出來2021是哪兩個數(shù)的乘積就不那么容易。
另外一個著名的例子是分解

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1903年，美國數(shù)學家科爾(Frank Nelson Cole)曾經(jīng)在美國數(shù)學會的會議上作過一次無言的“演講” 。他沉默地走上講臺，用粉筆在黑板上算出

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然后他繼續(xù)計算

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得到的結果跟前面一樣。他的無言演講贏得了全場的起立鼓掌。有人問他是怎樣找到這一分解的，他說：“三年中的全部星期天。 ”

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科爾丨圖源：維基百科
實際上，計算

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細心的人最多五分鐘就能手算出來， ——但找到這樣的分解卻花費了科爾一百多天。（科爾的名字被用于命名美國數(shù)學會在數(shù)論和代數(shù)方面的最高獎，張益唐和許晨陽曾分別獲得這兩項科爾獎）
今天，用一臺普通的計算機就能輕易分解2021或者

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但如果數(shù)字更大，分解仍然十分困難。比如我們拿兩個300位以上的素數(shù)相乘，用普通計算機可以迅速算出結果。但如果只給你這個乘積的結果，在不知道任何一個因子的情況下，即便是使用超級計算機也需要很多年才可以分解出來。
大數(shù)分解的這一特性被密碼學家用來設計公鑰密碼。密碼在各類影視文學作品里經(jīng)常出現(xiàn) ，比如福爾摩斯探案故事里的跳舞小人。在這個故事里，出現(xiàn)了一個密鑰，就是把英文字母一一對應于各種不同形態(tài)的跳舞小人。

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