2021，一個平平無奇的數(shù)字

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撰文 | 倪憶（加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授）
來源：普林小虎隊
跌宕起伏的2020年終于過去， 2021年來到人間。按照筆者中學(xué)時參加數(shù)學(xué)競賽的慣例，總要分析一下2021這個數(shù)字的性質(zhì) ，以防競賽中遇上包含這一數(shù)字的題目。像1997年國際數(shù)學(xué)奧林匹克，第四題里就出現(xiàn)了1997 。

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1997年IMO第四題，有興趣的讀者可以做做。
然而，跟2020比起來， 2021實在是一個平平無奇的數(shù)字。

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2020有許多有趣的分拆，比如它是5個404的和。 (有位讀者問：“404啥意思？” 這個嘛，大家應(yīng)該都經(jīng)常看到404頁面是不是？)

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2020=1024+996 ，所以2020年10月24日碼農(nóng)節(jié)有著特殊的意義。

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2021呢，筆者尚未找到這樣的分拆，難道要用2021=1024+997？那可就太絕望了！
素數(shù)和半素數(shù)
分拆不成，那么試著因數(shù)分解？我們知道，如果一個大于1的整數(shù)的因子只有1和它本身，那么這個數(shù)就被稱為素數(shù)（也稱質(zhì)數(shù)）。 2、3、5、7是最小的幾個素數(shù) ， 1997也是素數(shù) 。素數(shù)是“數(shù)論”這門數(shù)學(xué)分支里研究的基本對象，在數(shù)學(xué)里有著重要意義。如果2021是一個素數(shù) ，那么從數(shù)學(xué)上看它就很有意思。可是很遺憾，
【2021，一個平平無奇的數(shù)字】

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所以它不是素數(shù) 。
在上面的乘式里， 43和47都是素數(shù) 。如果一個正整數(shù)是兩個（可以相同）素數(shù)的乘積，那么這個正整數(shù)就被稱為半素數(shù) (semiprime) 。所以2021就是一個“半素數(shù)” 。
在數(shù)論里有許多跟素數(shù)有關(guān)的問題。比如著名的哥德巴赫猜想，其內(nèi)容就是任何一個大于4的偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)的和。如果兩個素數(shù)彼此之間只差2 ，那么它們就被稱為一對孿生素數(shù) 。比如1997和1999就是一對孿生素數(shù) 。孿生素數(shù)猜想斷言存在無窮多對孿生素數(shù) 。

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張益唐在孿生素數(shù)猜想上作出了重大突破丨圖源：北京大學(xué)新聞網(wǎng)
有的時候，數(shù)學(xué)家無法證明關(guān)于素數(shù)的猜想，就退而求其次，看看能不能證明關(guān)于半素數(shù)的相應(yīng)結(jié)論。最著名的例子就是陳景潤在哥德巴赫猜想上的工作，通常被記為“1+2” ，其數(shù)學(xué)含義是：任何一個大于4的偶數(shù)都能寫成兩個數(shù)的和，其中一個數(shù)是素數(shù) ，另外一個數(shù)是素數(shù)或者半素數(shù) 。公眾不太了解的是，陳景潤在孿生素數(shù)猜想上也有類似的結(jié)果。他證明了，存在無窮多個素數(shù) ，使得這個素數(shù)加上2以后是一個素數(shù)或者半素數(shù) 。

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著名數(shù)學(xué)家陳景潤丨圖源：***
半素數(shù)的一個性質(zhì)是，如果把它寫成兩個大于1的整數(shù)的乘積，那么在不考慮順序的情況下，這種乘式是唯一的。（讀者可以思考一下，除了半素數(shù)以外，還有沒有別的整數(shù)有這樣的性質(zhì)？）1974年，人們用阿雷西博射電望遠鏡向武仙座M13球狀星團發(fā)射了一段共1679比特的信息。破解阿雷西博信息的第一步，就是注意到1679是一個半素數(shù) ，所以可以把信息組成一個73×23的矩形。

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阿雷西博信息中包括1到10的數(shù)字， DNA、人類和太陽系的信息，甚至阿雷西博望遠鏡本身的形象和直徑。丨圖源：維基百科
烏拉姆螺旋
2021本身的兩個素因子是43和47 ，如果你是筆者這樣的業(yè)余數(shù)論愛好者，多半可以一眼認出，它們是歐拉 (Leonhard Euler) 發(fā)現(xiàn)的一系列能用多項式生成的素數(shù)中的兩個。歐拉在1772年注意到，對于二次多項式

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當(dāng)n取
0, 1, 2, 3, ……, 39
時，得到的數(shù)值是

2021，一個平平無奇的數(shù)字

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