高斯絕妙定理高斯定理證明 _生活百科

從數學發展的歷史來看，微分幾何幾乎和微積分同時誕生，甚至可以說，微分幾何還要早一些，因為在早期的微積分中，還存在很多來自幾何的觀念。我們都知道，古典的微分幾何在高斯這里發展到了高峰，“內蘊幾何”自此被提出此后。我們對微分幾何有了全新的認識，被研究的幾何對象不再被看作通常的歐式空間的一部分，而是它本身就是一個空間。高斯的“內蘊幾何”后來被黎曼(毫無疑問，黎曼是高斯最杰出的學生)推廣到任意維數的黎曼流形上，黎曼幾何也就此誕生。而在這一微分幾何發展過程中，“高斯絕妙定理”起到了關鍵的啟示作用。那么，“高斯絕妙定理”到底是什么？它到底奇妙在哪里？

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曲面基本形式首先，我們考慮三維空間中的參數曲面，它可以用兩個參數表示出來：

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為了研究的簡便，我們往往要假設坐標函數是參數的高次(一般大于二次)可微函數，而且沿兩個參數方向的切向量ru和rv(也即分別對u和v求導所得)處處線性無關。這樣的曲面具有良好的微分性質，一般稱之為正則曲面。
有了參數表示后，就可以定義出一個曲面的“度量”，也就是第一基本形式：
Ⅰ=dr·dr.
其中dr指的是曲面r(u,v)的微分。再具體一點：
令E=ru·ru,F=ru·rv,G=rv·rv，
則Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2.
實際上，這就是曲面的黎曼度量。同時，第一基本形式也是曲面上最基本的一個內蘊量(也就是只與度量有關的量)，例如平面和圓柱面，它們的第一基本形式都是：
Ⅰ=dx2+dy2
也就是說，平面和柱面擁有相同的度量性質，但它們卻是形狀完全不同的曲面。相信很多人都在中學時候做過求圓柱面或者圓錐面上兩點之間最短距離的數學問題，我們都知道，這種問題的解決方法就是將曲面展開為平面。但那時我們都想當然地把這種曲面可以展開為平面當成一種顯然的事實，而實際上可以這樣做的真正原因正在于從度量性質上來看，這些“可展曲面”和平面是沒有區別的。關于這一點，接下來我們還會提及。

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從上面的例子我們看到，曲面的第一基本形式并不能反映它們的形狀，為了達到這種目的，還要考慮曲面的單位法向量n(由切向量ru,rv做向量外積而得)，為此，有了如下第二基本形式Ⅱ的定義：
令L=-ru·nu,M=-ru·nv=-rv·nu，N=-rv·nv
【高斯絕妙定理高斯定理證明】則Ⅱ=-dr·dn=
Ldu2+2Mdudv+Ndv2.
此時，對于平面而言，其第二基本形式Ⅱ=0，而圓柱面Ⅱ=(-1/a)du2,其中a為橫截圓的半徑。可以看到，第二基本形式的確反應了它們形狀的不同。實際上，我們可以證明：
在等距意義下，曲面由其兩個基本形式完全決定.
高斯曲率對于曲面而言，它沿其上不同曲線的彎曲程度一般是不同的，因而描述曲面的彎曲程度較曲線而言復雜許多。直觀上，我們可以感覺到，曲面法向量的變化程度和彎曲程度是正相關的，例如平面和球面，前者的法向量是不變的，而后者法向量顯然是在變化的。因此為了描述曲面彎曲程度的變化，需要考慮曲面法向量的變化，這也就有了“法曲率”的概念。定義沿曲線某點的法曲率為曲線的曲率向量在法向量上的投影，這樣的曲線有切方向(du,dv),經過一番簡單的計算，沿這個切方向的法曲率k恰好等于曲面的兩個基本形式在點(u,v)的商，即
k=Ⅱ/Ⅰ=
(Ldu2+2Mdudv+Ndv2)/Edu2+2Fdudv+Gdv2.

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為了研究曲面的微分幾何，高斯引入了“高斯映射”的概念。這個映射的定義是很簡單的，只需把曲面在每一點的單位法向量平移到以原點為心的單位球面上。接下來，高斯映射的切映射將誘導兩個切空間(由nu,nv構成的線性空間和相應球面切平面)之間的線性變換，而這個映射又被稱為Weingarten映射。這里需要提到的是，考慮高斯映射的切映射而非高斯映射本身，這是數學中常見的思想，因為線性的東西總是更容易把握。

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由線性代數的知識，Weingarten映射將產生兩個特征值k1和k2，而實際上，它們恰好是在一點處法曲率的兩個極值。定義：
平均曲率=(k1+k2)/2，
高斯曲率=k1·k2.
高斯絕妙定理從定義可以看到，高斯曲率是利用曲面的兩個基本形式定義出來的，那么它的數學意義到底是什么呢？首先我們可以觀察到，前面我們提到的可展曲面，無論它們的形狀如何，高斯曲率都是0，而且可以證明反過來也是正確的。那么我們就得到了一個非平凡的結果：
三維歐式空間中的(正則)曲面是可展曲面當且僅當它的高斯曲率處處為0.

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從這個事實出發，我們似乎可以感覺到，高斯曲率和曲面的形狀沒有關系，而只與曲面的度量形式有關。偉大的高斯不僅注意到了這樣的事實，而且更進一步，他證明了如下極其深刻的定理：
曲面的高斯曲率由第一基本形式完全決定！
顯然，高斯本人對這個結果是相當滿意的，并用“絕妙”一詞來命名這個定理。對于古典的微分幾何而言，高斯絕妙定理無疑是最重要的結果，它深刻地揭示曲面了的內在特征，并且讓曲面單獨成為一個空間成為可能，這使得我們對曲面的認識將不再依賴于它的外圍空間。可以說，微分幾何從此走上了“內蘊”的道路，面貌煥然一新。而自黎曼推廣了高斯的內蘊幾何思想以來，微分幾何更是擺脫了古典框架的束縛，使得我們對空間的認識更加深刻。

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最后我們還要對高斯曲率的幾何意義再多說幾句。很多地方都說高斯曲率是衡量曲面彎曲程度的，但嚴格來說，這并不準確，這從圓柱面和平面的高斯曲率都為0就可以知道。實際上，從前面的討論(尤其是高斯絕妙定理)可知，高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式)，偏離標準度量(高斯曲率為0的度量，也就是Ⅰ=du2+dv2)的程度。例如我們簡單地考慮在平面一點相切的球面，而半徑為R的球面高斯曲率為1/R2,可以直觀地看到，高斯曲率越大(半徑越小)，與平面的偏離程度越大。(這個例子可能還不夠好，因為還是沒有脫離常規彎曲的幾何直觀，只是借此形象說明擁有不同大小高斯曲率的曲面之間的差別。)