代數基本定理歐拉恒等式證明 _生活百科

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根據代數基本定理，每個多項式在其定義域內的某個點上都有一個根。雖然這個定理早在18世紀初就已經被提出（由三位數學家，彼得·羅斯，艾伯特·吉拉爾和勒內·笛卡爾提出），但是第一個（非嚴格的）證明是在1746年由法國博學家讓·勒朗·達朗貝爾在他的著作《關于卡爾庫爾積分的研究》中發表的。該定理第一個嚴格證明的作者是卡爾·弗里德里克·高斯，他是歷史上最杰出的數學家之一。

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圖1：法國博學家讓·勒朗·達朗貝爾和德國著名數學家卡爾·弗里德里克·高斯。
讓我們先討論一些將在證明中使用的相關概念。
復數復數z是具有以下形式的數：

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方程1：復數的定義。其中x和y是z的實部和虛部。i是虛數單位，它是二次方程的解：

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方程2：虛數單位i是這個二次方程的解16世紀著名的意大利數學家卡爾達諾（他同時還是一名醫生、生物學家、物理學家、化學家、哲學家等）在他的三次方程的根研究中引入了復數。

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圖2：左邊的圖顯示了一個復數的示例。右邊是杰羅拉莫·卡爾達諾。通過復數平面，我們可以用幾何形式表示復數。橫軸包含實數，縱軸包含虛數。下圖顯示了復平面中的想象單元i 。這個圓叫做單位圓。

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【代數基本定理歐拉恒等式證明】
圖3：復平面上的單位圓。換句話說，利用復平面，我們可以用幾何來解釋復數。例如，在加法下，它們表現為向量：

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圖4：在加法下，復數表現為向量。為了更好地表達復數乘法，用極坐標代替笛卡爾坐標更方便。

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式3：極坐標(r, θ)表示的復數z 。這里我們用：

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公式4：公式3中使用的定義。第三個是著名的歐拉公式，作為特例。著名的歐拉恒等式顯示了數學中最基本的數之間的深刻聯系。利用公式3，可以將復數相乘寫成如下形式：

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方程5：極坐標下兩個復數相乘(r, θ)象征性地我們有：

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公式6：上述兩種觀察結果用符號表示。多項式和根
根據維基百科，“多項式f是一個由變量和系數組成的表達式，它只涉及加、減、乘運算，以及變量的非負整數指數。如果f(x) = 0，則x是該多項式的根。
一個實數多項式方程的例子如圖5所示。

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圖5：一個多項式的例子的繪圖。為了繪制具有復雜參數的多項式的圖，我們遇到了一個問題：復數是2D的，因此定義在復數上的復數值函數的圖將是4D 。一種可能的解決方案是使用顏色來表示尺寸。這里的想法是這樣的（見圖6a）。選擇原點為黑色，然后繞著它逆時針旋轉，通過色輪的顏色（紅、黃、綠、青色、藍、品紅，然后回到紅色）。當z接近原點時，指定的顏色z接近黑色。相比之下，當|z|→∞時，其顏色趨于白色。注意，每個z都有一個不同的顏色，因此它的顏色唯一地指定了它。我們在圖6b中繪制一個函數f: C→C的圖，我們用與f(z)的值相關聯的顏色對每個點z∈C著色。因此，通過確定點z的顏色，再與圖6a比較，可以得到任意點z的f(z)，然后用顏色表示哪個復數。這種技術叫做區域著色。