高斯的博士論文解決的問題
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高斯在他的博士論文中證明了如下的命題，使之升級為了定理：一個帶有復數系數的n次代數方程g（x）=0，其中n為正整數：
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至少有一個復數解 。（在這里我們把實數看成虛部為零的復數）
人們稱上述高斯的結論為代數基本定理 。
上述定理在歐拉的有生之年都未得到證明，但是歐拉直接將其應用到了無窮級數的研究當中 。
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應用上述定理可證明如下命題：
多項式g（x）：
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可以恰好分解為n個一次因式的乘積：
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【代數基本定理 歐拉線的證明】
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根 。
我們可以應用高斯論文中的結論證明這個命題！
證明讓我們考慮如下的多項式：
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我們發現當給這個多項式乘以一個因子x-a時，我們有：
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這樣我們得到了一般的結論：
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根據上述公式我們可以知道：
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下面我們觀察一個多項式g（x）如下圖所示：
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由高斯論文中的結論可知，g（x）=0必有一個復數根我們記為b，那么我們觀察如下推導，我們得到了之前我們探究過的因式分解的形式：
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因為g（b）=0我們可知：g（x）-g（b）=g（x），我們可以提出一個因子x-b得到如下關系：
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我們對h（x）也進行g（x）的操作，我們可以不斷這樣操作，不斷地提取因子，將g（x）寫成如下形式：
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此時我們還不知道這些b1，b2...bn 是不是g（x）=0的所有的根，我們假設不是這樣的，還有另一個根c，我們得到了如下復數乘積的形式，由于c是g（x）的根，所以g（c）=0：
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如果若干復數相乘乘積為零，必須至少有一個復數為零，因此可知c是b1，b2...bn 中的一個，所以我們證明了b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根 。
因此我們根據高斯博士論文中的結論證明了多項式g（x）可以恰好分解為n個一次因式的乘積 。
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