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弧長公式 扇形的面積公式

你要學的條件越少，難度越大，這個問題就越難 。不掌握方法很難解出答案 。這里有兩個解決這個問題的方法，供大家參考 。
第一個解:托勒密定理托勒密定理是托勒密對伊巴谷著作中的相關知識進行改進而得到的 。我們先來看看托勒密定理的內容 。
托勒密定理:在圓的凸內接四邊形中，這個四邊形的兩條對邊的乘積之和恰好等于兩條對角線的乘積 。
比如下圖，四邊形ABCD是圓O的凸內接四邊形，那么AD BC+AB CD = AC BD 。
【弧長公式 扇形的面積公式】什么是凸四邊形？簡單來說，這個四邊形就是任一邊所在的直線的一邊 。比如下圖的四邊形ABCD在有四條邊的直線的一邊，所以是凸四邊形 。
知道托勒密定理有什么用？
我們先來看原問題中兩個直角三角形組成的四邊形 。很明顯，這個四邊形的對角是互補的 。根據圓不連通四邊形的判定定理，對角互補四邊形是圓的內接四邊形 。從題目中的圖也可以看出，這個四邊形是凸四邊形，所以可以直接用托勒密定理求解 。
如上圖，為了表示方便，分解用字母標注，用AC連接，扇形半徑為R，CD = X 。
在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BE=5 。
根據托勒密定理，我們可以得到:
Ad BC+ab CD = AC BD，即:
3r+4x=5r，解為x=r/2① 。
在直角三角形BCD中，由勾股定理可得:BD ^ 2 = BC ^ 2+CD ^ 2，即:
25=r^2+x^2② 。聯立方程① ②，解為r 2 = 20 。所以扇形面積是圓面積的四分之一，即20π/4=5π 。
第二種解決方法:形狀填充法 。用托勒密定理解決這個問題很快，但是很多人不知道托勒密定理，那么沒有托勒密定理怎么解決呢？
如下圖，延伸AD和BC與e點之間的延長線，因為BC是扇形的半徑，A點在扇形的圓弧上，角度BAD是直角，BE是扇形所在圓的直徑 。這樣就構造了一個大的直角三角形ABE 。
設扇形半徑為r，則BE=2r，AE = 3+r .在直角三角形ABE中，由勾股定理:
Be 2 = AB 2+AE 2，代入數據:
(2r)2 = 4 ^ 2+(3+r)2，解為:r=2√5 。
所以扇形面積是π r 2 ÷ 4 = π× (2 √ 5) 2 ÷ 4 = 5π 。
奧賽的這道幾何題還是挺難的，但是解題的方法不是唯一的 。即使你沒有學過托勒密定理，也仍然可以用形狀補的方法用勾股定理求解 。而求解補碼的難點在于如何快速準確地做出輔助線 。做了輔助線后，求解難度降低了很多 。
這個問題到此為止 。

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