拉格朗拉格朗日方程與哈密頓原理，終極的自然原則，宇宙的主要動力( 四 ) https://p.ssl.img.36

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將物體視為質點。

當x為正時，左側彈簧被拉伸，當x為負時，左側彈簧被壓縮，所以左側彈簧的長度是a+x。當x為負時，右邊的彈簧被拉伸，當x為正時，右邊的彈簧被壓縮，所以它的長度是a-x。因此動能和勢能為：

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所以拉格朗日量是：

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現(xiàn)在我們把它代入x的歐拉-拉格朗日方程：

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彈簧上的兩個質點
我們現(xiàn)在終于準備好解決開頭一段提出的問題了。

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讓U?和U?分別成為小弧A和大弧B上的彈性勢能。A和B的弧長分別為(θ?-θ?)R和(2π+θ?-θ?)R。所以兩個彈簧的勢能是：

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質量為m，角速度為ω的質點在原點固定距離R處旋轉時，其動能為?mR2ω2，因此動能為：

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由于L=T-U，拉格朗日量為：

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為了找到運動方程，我們只需要把它代入θ?和θ?的歐拉-拉格朗日方程:

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所以運動方程是：

用拉格朗日法得到這些方程要比用牛頓定律容易得多。
結論：這一切意味著什么？我們到底做了什么，為什么要這么麻煩?
重要的是要知道我們并沒有引入任何新的物理理論。所有關于力、能量等的基本物理學和規(guī)則都保持不變。我們改變的是我們的觀點。我們采用了這些規(guī)則，并以不同的方式看待它們，因此我們對這些規(guī)則有了新的理解，以及我們可以利用這些規(guī)則做什么。
至于我們?yōu)槭裁匆@么麻煩，最直接的答案是我們想要一個比牛頓定律更簡單的方法來分析某些物理系統(tǒng)。但這不是唯一的原因。牛頓定律原則上可以解決經典力學中的任何問題，但對于分析經典場來說，它是極其笨拙的，而在量子物理中則是毫無意義的。另一方面，拉格朗日方程，以及更普遍的哈密頓原理，可以適用于量子物理。我們將在下一篇文章中看到如何做到這一點。
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