拉格朗拉格朗日方程與哈密頓原理，終極的自然原則，宇宙的主要動力( 三 ) https://p.ssl.img.36

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現在我們考慮T對廣義速度的導數。按照上述推理：

該量的時間導數為：

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通過對所有N個粒子求和，我們發現：

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上標S的F表示作用在第i個粒子上的牛頓力是廣義坐標的函數。現在我來完成這個證明，證明這個和等于廣義力F?。
設A、B為構型空間中的兩個“位置”，它們由一條平行于q?軸的直線相連。對于兩個自由度的情況，這看起來像：

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這個量從A到B的線積分是：

右邊的線積分是第i個粒子q?從A到B的位置向量所經過的每條路徑C_i上的線積分，根據定義，這是系統A和B之間的勢能差的負值：

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中間等式是由微積分基本定理提出的。

因此：

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這讓我們完成了證明：

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這意味著，對于真實軌跡的變化，我們有：

這個積分叫做作用泛函。我們所做的就是證明哈密頓最小作用量原理，即機械系統在構型空間中的運動軌跡是使作用泛函最小的軌跡。
函數L=T-U非常重要，它有自己的名字，被稱為拉格朗日方程。我們得到歐拉-拉格朗日方程：

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歐拉-拉格朗日方程給出了每個q?的運動方程。對于很多重要的機械系統來說，一旦你有了拉格朗日方程，找到運動方程就很簡單了。我們可以說，關于標準系統狀態隨時間演化的所有信息都包含在拉格朗日量中。
什么時候拉格朗日方法有效？許多重要的力學問題涉及沿固定表面或路徑的運動。例如，如果一個質點在球面上移動，那么它的位置坐標（x,y,z）滿足x2+y2+z2-R2=0。可以用f(x,y,z)=0的形式表示的約束稱為幾何約束。
我們也可以有一個運動約束。正如幾何約束限制了粒子的位置一樣，運動約束限制了粒子的速度。例如，如果我們說一個粒子的速度完全在x方向上，那么這是一個運動學約束，速度的y和z分量為零。積分之后，這個運動約束變成了一個幾何約束，它表示位置的y和z分量是常數。當這是可能的，我們說運動約束是可積的。
拉格朗日方程只適用于只有幾何和可積運動學約束的系統。我們稱這樣的系統為完整系統。一類重要的非完整約束的例子是：例如，如果一個球在桌子上，并被一根長度為l的繩子拴在原點上，那么約束是x2+y2≤l2。
拉格朗日力學對于保守力總是有效的。有時它可以擴展到非保守力，但這并不總是一個好方法。雖然這聽起來像是一個弱點，但事實證明，保守的完整系統是非常龐大的，包含了人們可能會遇到的大多數有趣的問題。
說了這么多，我們來看一些例子看看拉格朗日形式主義的實際應用。
一個鐘擺
一個質量m附著在一個長度為l的剛性輕棒的末端，并產生小角度的振蕩。