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拉格朗 拉格朗日方程與哈密頓原理，終極的自然原則，宇宙的主要動力


拉格朗 拉格朗日方程與哈密頓原理，終極的自然原則，宇宙的主要動力
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拉莫爾（英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，在對電，動力學(xué)，熱力學(xué)和物質(zhì)電子理論的理解方面進行了創(chuàng)新）對最小作用原理有一種強烈的、近乎神秘的忠誠……對他來說，這是終極的自然原則——宇宙的主要動力。——阿瑟·愛丁頓
兩個粒子具有質(zhì)量M?和M?，在半徑為R的環(huán)形上無摩擦滑動。兩個質(zhì)點通過彈簧上的圓弧A連接起來，圓弧A的彈簧系數(shù)是k?，自然長度是 a? ；圓弧B的彈簧系數(shù)是k?，自然長度是a?。彈簧平放在桌子上。

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假設(shè)要求我們找出質(zhì)點的運動方程。原則上，牛頓的運動定律足以解決這個問題。但在實踐中，用牛頓定律為一個復(fù)雜的系統(tǒng)尋找運動方程是困難的。即使這個問題與現(xiàn)實世界中機械系統(tǒng)的復(fù)雜性相比也顯得微不足道。
當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個問題太難時，一個好的處理方法是嘗試改變我們對這個問題的看法。但我們應(yīng)該采用什么樣的新視角呢？
我們從光學(xué)研究中得到了一個令人驚訝的答案。
費馬最短時間原理反射光的基本定律自古以來就已為人所知。當(dāng)一束光入射到反射面上時，入射角等于反射角：

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亞歷山大港的希羅（希臘數(shù)學(xué)家和工程師）能夠從這個事實證明光線所走的路徑是它從源頭、鏡子到目的地的最短路徑。也就是說，給定點A和C，光線在點B從鏡子上反射，使得路徑的長度最小。
古人無法解決的是折射的問題。當(dāng)一束光入射到分離兩種不同物質(zhì)（典型的例子是空氣和水）的表面時，光線會發(fā)生彎曲。

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離開A點的一束光，到達B點的水面，最終到達C點，并不是走A點和C點之間最短的路徑。
有關(guān)入射角和折射的定律被稱為斯涅爾定律，以威勒博德·斯涅利烏斯（1580-1626）命名，盡管它最早是由伊本·薩爾在公元984年發(fā)現(xiàn)的。它指出：

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其中n是每種介質(zhì)的折射率。這一定律是實驗發(fā)現(xiàn)的，缺乏理論論證。皮埃爾·德·費馬（1607-1665）提出了一個證明。費馬擴展了古希臘人的發(fā)現(xiàn)（即反射光在兩點之間的路徑最短），取而代之的是光選擇了兩點之間最短時間的路徑。從這個公設(shè)，他可以推導(dǎo)出斯涅爾定律。這是中級物理教科書中常見的練習(xí)，我可能會在一篇簡短的后續(xù)文章中討論它。
費馬原理被認為是歷史上第一個重要物理思想的例子，自然界將設(shè)法以這樣一種方式進行物理過程，以盡量減少這一過程所需要的一些重要的量。當(dāng)然，這里沒有任何超自然現(xiàn)象發(fā)生，這個觀點在19世紀就有了堅實的科學(xué)基礎(chǔ)。在本文的剩余部分，我們將通過拉格朗日形式主義理論來探討這一觀點。
約束條件，廣義坐標(biāo)和構(gòu)型空間我們總是可以用笛卡爾坐標(biāo)（x,y,z）來表示系統(tǒng)的狀態(tài)，但根據(jù)問題的不同，我們可以選擇更有用的變量。我們甚至可以減少我們需要考慮的變量的數(shù)量。例如，球面上的點P可以完全用極角和方位角（θ，φ）來表示，如下圖所示：

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任意變量q?，q?， …，q?被稱為廣義坐標(biāo)。廣義上說，它們可以是我們想要的任何東西，只要它們完全指定了系統(tǒng)的狀態(tài)而且它們之間沒有任何函數(shù)依賴性。廣義坐標(biāo)的時間導(dǎo)數(shù)稱為廣義速度。知道應(yīng)該使用哪些變量是一種直覺技能，只有通過實踐才能學(xué)會。
當(dāng)我們選擇了廣義坐標(biāo)，我們就可以把系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)表示為構(gòu)型空間中的一點。隨著時間的推移，系統(tǒng)在構(gòu)型空間中跟蹤的路徑稱為軌跡。

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一個機械系統(tǒng)隨時間的演化的問題，可以通過看系統(tǒng)在構(gòu)型空間遵循哪個軌跡來解決。
插曲：泛函假設(shè)一束光在點A和點B之間沿（x,f(x)）給定的平面內(nèi)路徑傳播：

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設(shè)v(x)為光速與x的函數(shù)，在折射率為n的介質(zhì)中，v=c/n。在這個問題中，n是y的函數(shù)，有：

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