拉格朗拉格朗日方程與哈密頓原理，終極的自然原則，宇宙的主要?jiǎng)恿? 二 ) https://p.ssl.img.36

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當(dāng)x坐標(biāo)為正時(shí)，路徑的y坐標(biāo)為負(fù)，所以我們可以這樣寫：

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我們不關(guān)心邊界上發(fā)生了什么

曲線（x,y=f(x)）的微分元素的長(zhǎng)度為：

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通過(guò)速度v=ds/dt的定義，我們可以將射線的總傳播時(shí)間表示為積分：

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這個(gè)定積分取函數(shù)f(x)，返回一個(gè)數(shù)字T，在某種意義上，它是一個(gè)取函數(shù)的函數(shù)而不是作為輸入的變量。這樣的對(duì)象被稱為函數(shù)。我們可以將費(fèi)馬最短時(shí)間原理解釋為路徑（x,f(x)）具有f(x)，使得時(shí)間函數(shù)T[f(x)]具有最小值。
正如我們可以定義函數(shù)f(x)對(duì)變量x的導(dǎo)數(shù)為：

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我們可以定義泛函δJ[f(x)]/δf(x)的泛函導(dǎo)數(shù)，得到當(dāng)f(x)被f(x)+η(x)代替時(shí)J的變化率，關(guān)系式為：

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函數(shù)η稱為f(x)的變分，f(x)是一個(gè)在積分域邊界上消失的任意函數(shù)。在本文中，我們將對(duì)以下形式的函數(shù)感興趣：

這里，F(xiàn)是由x, F (x)和F ' (x)組成的函數(shù)。我們用定義來(lái)求J的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

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第三行是鏈?zhǔn)椒▌t。第5行是因?yàn)閒 =f (ε=0)，第6行是對(duì)第5部分被積函數(shù)的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分的結(jié)果。由于η在a和b處消失，這意味著通過(guò)消去積分，我們得到：

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如果J是f(x)以外的多個(gè)函數(shù)的函數(shù)，只要只有f(x)是變化的，這也適用。為什么？讓f(x) = （f?(x), f?(x), …, f?(x)），只f?有所不同。那么J的形式如下：

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所以只有f?在第(3)行的鏈?zhǔn)椒▌t中存在。
軌道的泛函令q(t)=(q?，q?，…，q?)為構(gòu)型空間軌跡的位置向量。為了從函數(shù)的角度分析軌跡，我們需要提出一些依賴于整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的泛函。
勢(shì)能函數(shù)，依賴于整個(gè)狀態(tài)，如果我們假設(shè)系統(tǒng)是保守的，那么U就不依賴于廣義速度。我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示軌跡上U的平均值：

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泛函?U?具有適用于上一節(jié)結(jié)果的正確形式，因此：

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由于U不依賴于速度，最右邊的偏導(dǎo)數(shù)消失了（我們稍后會(huì)用到這個(gè)形式），我們可以寫成：

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由于我們處理的是保守系統(tǒng)，我們可以自由地定義廣義力：

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因此

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泛函?T?也具有上一節(jié)公式的正確形式來(lái)應(yīng)用：

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現(xiàn)在我們有了一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一種可行形式，我們可以進(jìn)入實(shí)際的物理。
拉格朗日方程保守系統(tǒng)可以說(shuō)是通過(guò)動(dòng)能和勢(shì)能的交換而隨著時(shí)間而演化的。這是因?yàn)橐粋€(gè)保守力作用于系統(tǒng)，將其勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，反之亦然。
假設(shè)沿著軌跡，平均勢(shì)能為?U?，軌跡變化一次后，平均勢(shì)能變?yōu)?U?+?U。因此，軌跡的變化產(chǎn)生了一些額外的能量來(lái)貢獻(xiàn)系統(tǒng)的平均動(dòng)能。我們可以猜測(cè)平均動(dòng)能的變化量等于平均勢(shì)能的變化量。現(xiàn)在我們將證明，當(dāng)任何坐標(biāo)q?變?yōu)閝?+δq?時(shí)，情況就是這樣：