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關(guān)于直線對稱點公式大全 點關(guān)于直線對稱的點求法公式

生活百科 經(jīng)驗分享

今天在研究中考數(shù)學(xué)壓軸題時，遇到一道超麻煩的問題，麻煩之處，在于它多次要求已知點關(guān)于已知直線的對稱點坐標 。
按照一般步驟，先設(shè)過已知點與已知直線垂直的直線解析式，然后代入已知點的坐標，確定這條直線的解析式 。
然后根據(jù)對稱點所在直線的解析式，假設(shè)對稱點的坐標 。最后根據(jù)兩點到直線距離相等，列關(guān)于對稱點橫坐標的方程，從而解得對稱點的橫坐標，并且得到對稱點的坐標 。
一番操作下來，還是比較繁的，架不住這道題三番兩次要重復(fù)這個過程 。因此老黃就想，如果有關(guān)于直線對稱點坐標公式，那該多好多簡便啊 。
雖然網(wǎng)上有現(xiàn)成的公式，但是學(xué)習(xí)這件事情，老黃不想假手于人 。因此老黃還是決定自己推導(dǎo)一下 。沒想到結(jié)果如此之復(fù)雜 。設(shè)點(x0,y0), 求關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點, (A^2+B^2不等于0) 。
按照上面敘述的一般過程，先設(shè)過已知點與已知直線垂直的直線解析式：Bx-Ay+D=0, 代入已知點的坐標，求得D=Ay0-Bx0. 因此直線的解析式為：Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.
可設(shè)對稱點的坐標為(x,(Bx+Ay0-Bx0)/A), 則：
|Ax0+By0+C|=|Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C|，因為對稱的兩點在對稱軸的兩側(cè)，所以
Ax0+By0+C+Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C=0，化簡得：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),
(Bx+Ay0-Bx0)/A=B((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^3+AB^2)+y0-Bx0/A.
橫坐標的公式還好說，縱坐標的公式就未免太復(fù)雜了 。而且當A=0時，它是沒有意義的 。那怎么辦呢？其實對稱點的橫坐標和縱坐標是具有一定的對稱性的 。我們可以由它的對稱性，直接得到縱坐標y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2). 或者運用上面的推導(dǎo)過程再推導(dǎo)一次 。
因此點(x0,y0), 求關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點坐標為
(((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)) (A^2+B^2不等于0).
這個坐標公式，看起來想要記住還是有可能的 。接下來檢驗一下它的正確性 。
先舉一個最簡單的例子：比如點(2,1)關(guān)于橫軸的對稱點是(2,-1)，這里A=0，B=1, C=0, 因此對稱點的坐標：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=x0=2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=-y0=-1. 檢驗正確 。
再隨便舉一個例子：比如點(1,2)關(guān)于直線3x-2y+1=0的對稱點坐標記為(x,y)，這里A=3, B=-2, C=1. 則
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-5×0-6(-2y0+1))/13=1,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(5y0+4(3×0+1))/13=2.
所以點(1,2)關(guān)于直線3x-2y+1=0的對稱點還是它本身，這一開始嚇到了老黃，但仔細一點，原來點(1,2)在直線上，所以結(jié)果也是正確的 。
凡事不過三，最后舉一個例子：比如點(2, 3)關(guān)于直線2x+y-3=0的對稱點記為(x,y)，這里A=2, B=1, C=-3. 則
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-3×0-4(y0-3))/5=-1.2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(3y0-2(2×0-3))/5=1.4
通過作圖，結(jié)合求點關(guān)于直線的對稱點坐標的一般方法 。我們就可以檢驗這個答案是正確的 。

關(guān)于直線對稱點公式大全 點關(guān)于直線對稱的點求法公式

文章插圖
【關(guān)于直線對稱點公式大全 點關(guān)于直線對稱的點求法公式】 你也可以繼續(xù)舉一些例子來檢驗 。以后我們在求點關(guān)于直線的對稱點坐標時，就可以直接運用這個坐標公式了 。

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