【關(guān)于虛數(shù)的5個(gè)有趣的事實(shí) 虛數(shù)i的運(yùn)算公式大全】
虛數(shù)是一個(gè)抽象的概念，但是虛數(shù)對(duì)我們精確描述我們的宇宙是必不可少的 。它的存在讓很多公式變得簡潔而優(yōu)美 。
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對(duì)于數(shù)學(xué)家來講“世界上可能沒有足夠多的愛能拿來表達(dá)虛數(shù)的存在” 。很多時(shí)候，如果你想精確地描述你生活的這個(gè)宇宙，你需要跳出傳統(tǒng)思維的束縛 。在20世界早期，物理學(xué)的兩個(gè)重大突破——相對(duì)論和量子力學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的需求遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)數(shù)的范疇 。從那以后，復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)的發(fā)展開始在我們理解這個(gè)宇宙中發(fā)揮重要的作用 。
復(fù)數(shù)包含兩個(gè)部分，實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分 。當(dāng)我們最開始接觸數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們基本上是按照下面的順序逐件擴(kuò)展的：
- 可數(shù)的數(shù)：1，2，3，4……等等 。這些數(shù)字是無限多的
- 整數(shù)：0，1，2，3……等等，跟可數(shù)的數(shù)相比，這里多了數(shù)字0
- 所有的整數(shù)：……，-3，-2，-1，0，1，2，3，…… 。這里我們又包含進(jìn)去了負(fù)數(shù)
- 有理數(shù)：很多數(shù)可以表示成兩個(gè)整數(shù)的除法形式 。因此有理數(shù)包含了所有的整數(shù)和所有有限重復(fù)的小數(shù) 。
- 實(shí)數(shù)：除了有限重復(fù)的小數(shù)之外還有無限重復(fù)小數(shù)，即無理數(shù)例如自然數(shù)e，圓周率π等 。有理數(shù)和無理數(shù)的和為無理數(shù)，而兩個(gè)無理數(shù)的和則可能為有理數(shù) 。
我們回顧了虛數(shù)和復(fù)數(shù)的定義之后，我們就可以來看看關(guān)于虛數(shù)的5個(gè)有意思的事實(shí)了：
1、i開根號(hào)既有實(shí)數(shù)部分也有虛數(shù)部分
復(fù)數(shù)開方得到一個(gè)純虛數(shù)，但是純虛宿的開方卻即有實(shí)數(shù)部分也有虛數(shù)部分 。下面我們看看證明的過程：
首先我們假設(shè)i的開方值可以表示成x+yi的形式：
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兩邊同時(shí)平方我們得到：
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我們把實(shí)數(shù)和虛數(shù)的部分對(duì)應(yīng)起來：
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繼續(xù)求解：
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因此我們可以得到：
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我們可以看到，實(shí)際上i的開方是有兩個(gè)解的：
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這就讓i有了下面一個(gè)有意思的性質(zhì)
2、i的任何次開方都有多個(gè)結(jié)果，開N次方就有N個(gè)不同的解
對(duì)于正數(shù)而言，你最多可能只有兩個(gè)解 。但是對(duì)虛數(shù)而言，解的個(gè)數(shù)可能跟開方的次數(shù)一樣多了 。
例如：
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對(duì)i開3次方，4次方和5次方，分別可以得到3個(gè)，4個(gè)和5個(gè)解 。例如i開3次方可以得到：
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3、虛數(shù)分?jǐn)?shù)中i位于分子位置還是位于分母位置對(duì)最后的結(jié)果影響很大
對(duì)實(shí)數(shù)除法-1/1和1/-1的結(jié)果是一樣的，但是對(duì)虛數(shù)而言結(jié)果就不一樣了，例如：
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它的值就為-i，而不是i
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在復(fù)數(shù)運(yùn)算中i的結(jié)合順序非常重要，如果運(yùn)用不當(dāng)可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，例如：
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4、e，π和i三者可以統(tǒng)一在一起
坐標(biāo)系可以是標(biāo)準(zhǔn)的由x軸和y軸描述的正交坐標(biāo)系，也可以是半徑r和角度θ描述的極坐標(biāo)系 。如圖：
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但是如果你用實(shí)數(shù)和虛數(shù)來代表x軸和y軸，那么你可以得到：
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上面的公式在角度為180度即-1的位置的時(shí)候我們可以得到一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)果：
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這個(gè)公式就是有名的歐拉公式，它在很多復(fù)雜分析中都廣泛應(yīng)用 。
5、i^i或者i的i 次方，是100%的實(shí)數(shù)
對(duì)上面的歐拉公式我們考慮i的位置，即角度為90度：
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兩邊都計(jì)算i次方：
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我們得到：
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這個(gè)值大約為0.20788，是一個(gè)實(shí)數(shù) 。
虛數(shù)i代表的含義非常值得人們?nèi)ド钏迹拖裰袊奶珮O哲學(xué)一樣，實(shí)數(shù)和虛數(shù)虛虛實(shí)實(shí)轉(zhuǎn)化演繹者我們生活的宇宙 。
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