虛數定義及計算方法虛數的概念及分類 _經驗分享

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有時候，人類科學的發展需要超越傳統的思維方式。在 20 世紀早期，物理學上的兩次革命——愛因斯坦的相對論(首先是狹義的，然后是廣義的)和量子力學——帶來了對數學的需求，而所需要的工具僅用實數是滿足不了的。從那時起，由實部和虛部組成的復數就與我們對宇宙的理解不可分割地糾纏在一起。
從數學上講，當我們想到數字時，可以想到幾種不同的分類方法：

可數數字：1、2、3、4，等。這樣的數字有無數個。
自然數：0、1、2、3 等。這些數與可數數相同，但同時包括零。
整數：…,3,2,1,0,1,2,3, 等。這看起來可能不多，但認識到我們可以有負數是一個巨大的突破，而且負數和正數一樣多。整數包括所有的自然數和它們的負數。
有理數：可以表示為一個整數除以另一個整數的任何數字。這包括所有的整數(可以表示為它們本身除以 1)以及每個整數之間無窮多的有理數。任何無限循環的小數都可以用有理數來表示。
實數：包括所有的有理數以及所有的無理數，比如非完全平方的平方根，π，以及其他的無理數。任何有理數和任何無理數的和都是無理數，但兩個無理數的和可能是有理數。

但是，盡管正數的平方根是實數，負數的平方根卻沒有明確的定義。至少，它還未被定義，直到數學家并發明了虛數來進行定義！

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虛數和實數沒什么兩樣，只不過可以乘以 i——或者說 √-1 。數字也可以是復數，其中既有實部(a)也有虛部(b)，通常用(a + bi)表示。
現在你知道它們是什么了，下面 5 個是我認為關于虛數最有趣的事實！
1. i 的平方根既有實部也有虛部
一個負實數的平方根是純虛數，但一個純虛數的平方根必須同時有實部和虛部！下面是你證明自己的方法。你需要某個數的平方等于 √(-1) 。假設它有一個實部 x 和一個虛部 y，所以我們可以把它寫成(x + yi)，然后我們可以算出 x 和 y 的值是多少。
兩邊同時平方

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現在我們讓實部與實部對應，虛部與虛部對應。

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通過這兩個方程，我們可以把右邊方程的 x 代入左邊方程，

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然后，我們便可以解出 y：

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如你所見，有兩種可能的解，如果我們用方程的右邊(虛部)來解 x(兩種情況下 y 的值都一樣)，我們得到兩個解：
這就引出了下一個有趣的事實…
2. i 的任意根有多個不相同的解，N 次根有 N 個不相同的解
對于正實數，開方(即，第二個根)會給出兩種可能的解：正的和負的。例如，√(1)可以是+1，也可以是-1，因為任意一個的平方都是 1 。
但對于 i，也就是 √(-1)，如果你想求根，你需要做一個多項式方程，就像我們上面做的那樣。問題是，多項式方程的階取決于我們取它的根。所以 i 的三、四、五次方根必須滿足：

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所以對于方程中的每一個 x 和 y 都有 3 個，4 個，5 個不同的解。例如，i 的三次方根的三個解為：

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(嘗試把它們立方，然后自己看吧！)這甚至還沒有涉及更復雜點的分數，請繼續往下看……
3. 分子或分母？
在虛數分數中，i 究竟是在分子中還是分母中是很重要的。如果你考慮(-1)這個數，在分數形式的情況下，不管你是用(-1)/1 還是 1/(-1) 來考慮它，其結果都是(-1) 。但對 i 來說事實并非如此！我來問你們，你們認為這個分數是多少?