立體幾何點(diǎn)到平面的距離，空間向量和立體幾何中最值范圍問題 _點(diǎn)到

立體幾何求點(diǎn)到平面的距離

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立體幾何求點(diǎn)到平面的距離公式：d=|n.MP|/|n| 。數(shù)學(xué)上，立體幾何是3維歐氏空間的幾何的傳統(tǒng)名稱—-因?yàn)閷?shí)際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的后續(xù)課程。
幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。
空間向量和立體幾何中最值范圍問題平面的法向量a ，點(diǎn)為A 。找平面上一點(diǎn)B【以下AB為向量】。
公式：距離＝向量AB和法向量a的數(shù)量積的絕對(duì)值除以法向量的模長。
在此情況下，一般是由點(diǎn)向平面作垂線，將垂線與平面內(nèi)有關(guān)的線段構(gòu)成平面幾何圖形，利用勾股定理或三角函數(shù) ，求出要求的距離。

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擴(kuò)展資料
點(diǎn)到平面距離是指空間內(nèi)一點(diǎn)到平面內(nèi)一點(diǎn)的最小長度叫做點(diǎn)到平面的距離，特殊的有，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi) ，則點(diǎn)到平面的距離為0 。
其中n = (A, B, C)是平面的法向量， D是將平面平移到坐標(biāo)原點(diǎn)所需距離（所以D=0時(shí) ，平面過原點(diǎn)）。
向量的模（長度）給定一個(gè)向量V（x, y, z),則|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z) 。
怎么求點(diǎn)到面的距離?在立體幾何中,求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型,同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離.本文總結(jié)幾種求點(diǎn)到平面距離的常用方法,供參考.
一直接法
根據(jù)空間圖形的特點(diǎn)和性質(zhì),找到垂足的位置,直接向平面引垂線,構(gòu)造可解的直角三角形求解.
例1.（1998年全國高考題）已知斜三棱柱的側(cè)面與底面ABC垂直,,且；（I）求側(cè)棱與底面ABC所成角的大小；（II）求側(cè)面與底面ABC所成二面角的大小；（III）求頂點(diǎn)C到側(cè)面的距離.
圖1
簡析：（I）如圖1,取AC中點(diǎn)D,易得側(cè)棱與底面ABC所成的角為 .
（II）由于底面ABC,過D作于E,連 ,知 ,則為所求二面角的平面角.易求得 .
（III）要求C到平面的距離,可直接作面于 ,CH的長就是點(diǎn)到平面的距離.關(guān)鍵是怎樣求CH的長.注意到 ,連BH,則由三垂線定理得 ,即為二面角的平面角.由（II）知 ,所以為所求.
注：此法的關(guān)鍵是要找到可解的直角三角形來求解.
二.找垂面法
找（作）出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直,然后過該點(diǎn)作其交線的垂線,則得點(diǎn)到平面的垂線段.
例2.正三棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為 ,的中點(diǎn)為D.（1）求證平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.
圖2
簡析：（1）連與相交于O,連DO.由三角形中位線定理易得 ,則 .
（2）由于O為的中點(diǎn),所以點(diǎn)B到平面的距離等于點(diǎn) 到平面的距離.
由 ,得 ,又 ,所以面 ,交線為AD（找到了垂面）.
過作于H,則 ,所以的長度就是點(diǎn) 到平面的距離.
在中,
所以點(diǎn)B到平面的距離為 .
三.轉(zhuǎn)化法
當(dāng)由點(diǎn)向平面引垂線發(fā)生困難時(shí),可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上（平面上）其他點(diǎn)到平面的距離.
例3.（1991年全國高考題）已知ABCD是邊長為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.
簡析：如圖3,連AC分別與BD相交于O,與EF相交于H,由EF//BD,得BD//平面EFG.所以O(shè)到平面EFG的距離就是B到平面EFG的距離.易證平面平面GEF,交線為GH.在中,過O作于K,則OK長就是B到平面EFG的距離.利用相似三角形,易得 .
圖3
【立體幾何點(diǎn)到平面的距離，空間向量和立體幾何中最值范圍問題】四.等積法
即利用三棱錐的換底法,通過積體計(jì)算得到點(diǎn)到平面的距離.本法具有設(shè)高不作高的特殊功效,減少了推理,但計(jì)算較為復(fù)雜.
例4.同例3.
簡析：設(shè)B到面EFG的距離為h,
由于 ,
所以
另一方面,,
所以 ,
得即為B到平面GEF的距離.
五.坐標(biāo)向量法
通過建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量求模長的知識(shí)可求得點(diǎn)到平面的距離.
例5.（2003年江蘇高考題）如圖4,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,側(cè)棱 ,D、E分別是與的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G.（I）求與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（II）求點(diǎn)A1到平面AED的距離.
圖4
簡析：（I）易知為與平面ABD所成的角.不難求出 .
（II）分別以CA、CB、為x軸、y軸、z軸,建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè) ,則A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）,（2a,0,2）,E（a,a,1）,,
所以
由 ,
解得 .
所以A（2,0,0）,（2,0,2）,E（1,1,1）
易證平面平面 ,交線為AE,所以點(diǎn) 在平面AED內(nèi)的射影H在AE上.
設(shè) ,則
由 ,即 ,得
所以
故點(diǎn) 到平面AED的距離為 .