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等差數列前一項和后一項的關系

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等差數列前一項和后一項的關系

等差數列前一項和后一項的關系

文章插圖
等差數列前一項和后一項的關系是相鄰，等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數的一種數列，常用A、P表示 。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示 。
等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級 。在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等 。并且等于首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等于中間項的2倍 。
等差數列為什么不可以用前一項減后一項定義按照正常思維，先寫第一項，再寫第二項……寫第n項以后才寫n+1項.
所以a(n+1)=a(n)+d
或
a(n+1)-a(n)=d這個形式看上去是很自然很合理的 。
事實上，如果偏說，一個數列總有
a(n)
-
a(n+1)
=
-d，那么這個數列必然是等差數列無疑，沒有什么差別的 。其實這個前一項減后一項和定義完全沒差別 。定義本來的意圖也并非是在強調“前一項”與“后一項”這個區別，而是在表達“相鄰兩項之差”為一個常數 。
數量關系知識點一、數列：
1. 等差數列：后一項減前一項形成一個常數數列
2. 二級等差數列：后一項減前一項形成一個新的數列為等差數列
3. 二級等差數列變化：后一項減前一項形成一個新的數列，這個新的數列可能是自然數列、等比數列、平方數列、立方數列或者與加減“1”、“2”的形成有關，或質數列 。
（例如：20,22,25,30,37，（）→2,3,5,7···二級為質數列 。）
4. 三級等差數列及變化，后一項減前一項形成一個新的數列，再在這個新的數列中，后一項減去前一項形成一個新的數列，這個新的數列可能是自然數列、等比數列、平方數列、立方數列、或者與加減“1”、“2”的形成有關 。
5. 等比數列：后一項與前一項的比為固定值叫做等比數列
6. 二級等比數列變化：同理
7． 典型（兩項求和）和數列：前兩項的加和得到第三項
8． 典型（兩項求和）和數列變式：前兩項的和，經過變化得到第三項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數；或者是每兩項的和與項數之間具有某種關系 。
9． 三項和數列變式：前三項的和，經過變化之后得到第四項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數；或者是每兩項的和與項數之間具有某種關系 。
10． 典型（兩項求和）積數列：前兩項相乘得到第三項
11． 積數列變式：前兩項相乘經過變化之后得到第三項，這種變化可能是···（同理）
12． 典型平方數列（遞增或者遞減） 例如：196、169、144、（）、100
13． 平方數列變化：這一數列特點不是簡單的平方或者立方數列，而是在此基礎上進行“加減乘除”的變化
例如：0,5,8,17，（），37→0=1*1-1,5=2*2+1，···
14． 平方數列最新變化：二級平方數列
例如：1,4,16,49,121（）→1*1,2*2,4*4,7*7···
1 234
15． 立方數列：···
16． 組合數列：1.數列間隔組合：兩種數列（或者多種）進行分隔組合
2.數列分段組合：（？）
3.特殊數列：整數與小數組合
17． 質數列及變式：只能被1和本身整除的數
合數列：與質數相對的即合數列
分式最簡式：約分最簡式的形式為某一個
二、時鐘問題
時鐘表盤上分為12大格，每個大格之間的夾角為360度/12=30度 。每個大格又被等分為5個小格，每個小格之間的夾角為30度/5=6度 。在鐘表上，時針與分針是同時轉動的，它們的關系是：時針走1小時轉30度，分針轉360度，恰好為一個圓圈 。
時針每十二個小時繞鐘面轉一圈，每分鐘走360/12/60=0.5度
分針每小時繞鐘面轉一圈，每分鐘走360/60=6度
速度差：6-0.5=5.5度
速度和：6+0.5=6.5度
弧長等于圓半徑長的弧所對的圓心角為1弧度，周角為2π弧度，平角（180度）為π弧度 。
例題：鐘表的時針和分針在4點多少分第一次重合？即21又9/11分
4點整時，分鐘在12，時針在4，夾角為120度，即追及問題，
速度差*時間=追及路程，速度差為5.5度，即時間為120/5.5=21又9/11分鐘
例題：從4時到5時，鐘的時針和分針可成直線的機會有多大 。（包括重合為180度的情況）
4時，夾角120度，5時，150度，從4時到5時，時針和分針的角度從120度減到0度（重合），再增加到180度（兩針反向成一直線），再減少到150度，可知有兩次成為直線 。
例題：時針指示2點15分，它的時針和分針所成的銳角是多少度？
2點整，分針指向12，時針指向2，時針和分針角度為60度，到2點15分，分針走了15分鐘，走了：6*15=90度，時針走了15*0.5=7.5度，所以所成的角為90-60-7.5=22.5度
例題：從上午十一點三十八分到當天下午一點二十三分，時鐘的時針旋轉的角度與分針旋轉的角度之差為（）弧度？
弧長等于圓半徑長的弧所對的圓心角為1弧度，周角為2π弧度，平角（180度）為π弧度 。
【等差數列前一項和后一項的關系】從上午十一點三十八分到當天下午一點二十三分，一共是過了105分鐘，時針、分針的速度差為6-0.5=5.5度/分鐘，總的角度差為105*5.5=577.5度，換成弧度，為577.5度/360*2π=10.08 （π=3.14）
三、排列、組合
1、捆綁法
解決對于某幾個元素要求相鄰，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內部各元素之間的順序 。（相鄰、不同物體、排序）
例題：6個不同的球放在5個不同盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？?_6^2 A_5^5
2、插空法
解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已經排好的元素的間隙或兩端位置 。（不相鄰，排序）
例題：5個男生3個女生排成一排，要求女生不相鄰，有多少種方法？
（排多人形成空先） A_5^5 A_6^3 或者A_5^5 C_6^3 A_3^3
3.插板法
解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數目少1的板插入元素之間形成分組的策略 。（元素相同，每組至少一個元素，組合問題）
例題：有9顆相同的糖，每天至少吃一顆，要4天吃完，有多少種吃法？
用3個板插入9顆形成的8個內部空隙中，分為4份，即C_8^3
綜合問題：一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現為了節省用電，決定每邊關掉3盞，但為了安全，道路起點和終點兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續關掉兩盞 。總共有多少種方案？
10盞關掉3盞，剩下7盞，兩端的燈不能關，關掉的只能在7盞中形成的空隙中，C_6^3，兩邊〖（C_6^3）〗^2=400
四、求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
五、三個集合的容斥關系公式：
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
參加的總人數=每項活動的人數和（含重疊）-參加兩項活動的人數和（含重疊）+所有項都參加的人數
參加的總人數=每項活動人數和（含重疊）-參加兩項活動人數和（不含重復）-所有項都參加的人數*2

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