數(shù)學(xué)概念教學(xué) 屈義寅
中華文化認(rèn)為“名不正則言不順” 。我認(rèn)為，其本意是：講話中，所用的概念之內(nèi)涵不準(zhǔn)，外延不清 。則不可能使所說(shuō)之話條理清晰，邏輯嚴(yán)密 。這樣的能力是通過(guò)不斷學(xué)習(xí)獲得 。學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教育是不可缺少的工作 。
什么是“概念”？新華字典P125【概念】人們?cè)诜磸?fù)的實(shí)踐和認(rèn)知過(guò)程中，將事物共同的本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來(lái)，加以概括，從感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)，就成為概念 。
這個(gè)“概念定義”與“規(guī)律定義”似乎沒(méi)有什么差別！
我認(rèn)為，應(yīng)說(shuō)得更詳細(xì)一些 。詳述如下：
從形式上看，概念是某種語(yǔ)言的一個(gè)單詞 。可者說(shuō)得更基礎(chǔ)一些 。概念在形式上是一個(gè)由字符串構(gòu)成的傳遞或交換信息的最小獨(dú)立單元 。它與一個(gè)聲音串對(duì)應(yīng)起來(lái)，就構(gòu)成某種語(yǔ)言的一個(gè)單詞 。這個(gè)單詞表達(dá)的內(nèi)容，是對(duì)世界中某些共性或個(gè)性的近似陳述 。是人們?cè)诜磸?fù)的實(shí)踐和認(rèn)知過(guò)程中，抽象出來(lái)的個(gè)體的特定本質(zhì)，或者，群體的共同的本質(zhì)特點(diǎn) 。這一點(diǎn)與規(guī)律相同，只是，規(guī)律不只是一個(gè)單詞，至少是一句完整的陳述句 。
創(chuàng)建概念的方法，用得較多的最方便的方法，就是使用邏輯定義來(lái)創(chuàng)建一個(gè)概念 。首先用已有的概念，概成一個(gè)具充要性的邏輯命題的條件 。在這里用p表示 。再件創(chuàng)建某個(gè)字符串結(jié)合聲音串，表示的一個(gè)單詞，作為這個(gè)邏輯命題的結(jié)論，在這里用q表示 。這樣的充要性命題，陳述為：若p,則稱為q 。
命題＂若ｐ則ｑ＂不是充要性命題的陳述方式 。只能得出：
【數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法與策略】ｐ是ｑ的充分條件 。或者，ｑ是ｐ的必要條件 。不是完整的一個(gè)定義的陳述方式 。
這種創(chuàng)建概念的前提，是所用作條件的概念，都要是已創(chuàng)建出來(lái)的 。就是作為條件中使用的概念需要預(yù)先存在 。如此倒推下去，最終就會(huì)出現(xiàn)“無(wú)現(xiàn)成的概念可用了” 。這種前提條之下，還必須創(chuàng)建概念時(shí)時(shí)，就不能使用邏輯定義來(lái)建立這樣的概念，這樣的概念稱為原始概念，簡(jiǎn)稱原概念 。
如何創(chuàng)建原概念？
通過(guò)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，歸納出一些必要條件，排除一些明顯的不能出現(xiàn)的方面 。指定一個(gè)字符串結(jié)合聲音串，用來(lái)表示該概念 。然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)膽?yīng)用 。再通過(guò)應(yīng)用過(guò)程來(lái)，逐步豐富這個(gè)概念的內(nèi)涵，逐步清晰這個(gè)概念的外延的邊界 。
例一，“媽”的概念的建立 。最原始的方法，也是只能用的方法，就是指定建立 。對(duì)于初生兒來(lái)說(shuō)，“自然”認(rèn)定這個(gè)人就是媽，其他人不是媽 。經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的使用之后，再結(jié)合其它不同的概念之建立，就可理解“每一個(gè)人都有一個(gè)媽” 。之后，就可按邏輯學(xué)要求，用媽的概念定義新概念了 。例如：媽媽的媽叫外婆 。爸爸的媽媽叫奶奶 。……等 。然后再指定一個(gè)字符串表示該概念，漢語(yǔ)就是“媽” 。這時(shí)，這個(gè)概念的創(chuàng)立才算初步完成，成為了漢語(yǔ)的一個(gè)單詞 。或說(shuō)，一個(gè)單詞表示的概念 。
例二，幾何學(xué)中或物理學(xué)中，點(diǎn)的概念的建立 。
現(xiàn)在通用的方法，就用定義的陳述方式來(lái)引入：“點(diǎn)就是沒(méi)有形狀，沒(méi)有大小的幾何圖” 。看起來(lái)就像一個(gè)不錯(cuò)的定義陳述 。
并非定義，而且還在幾何學(xué)內(nèi)產(chǎn)生了邏輯沖突 。沒(méi)有大小還能看見(jiàn)嗎？不可能 。看不見(jiàn)的東西還是幾何圖形嗎？
另一方面，這樣描述的點(diǎn)，沒(méi)有任何個(gè)性差異 。無(wú)法建立點(diǎn)的集合 。就無(wú)法用點(diǎn)的不同集合表示不同的幾何圖形了 。其實(shí)，點(diǎn)是物理個(gè)體抽象為質(zhì)點(diǎn)而來(lái) 。觀測(cè)者根據(jù)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)性差別，在空間找到需要的質(zhì)點(diǎn) 。逆過(guò)來(lái)又用質(zhì)點(diǎn)表示點(diǎn)的位置 。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)用于表示位置時(shí)，只是忽略了它的個(gè)性 。不是沒(méi)有個(gè)性 。需要是都可恢復(fù)使用 。然后發(fā)現(xiàn)，用兩條相交線段的公共部分表示一個(gè)點(diǎn)的位置，較為方便準(zhǔn)確 。而且，選定參照物之后，就可把點(diǎn)的位置信息儲(chǔ)存起來(lái)再利用了 。這樣的表示位置的點(diǎn)，稱為幾何點(diǎn) 。
對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō) 。點(diǎn)就是表示位置的一個(gè)物體，當(dāng)它表示點(diǎn)時(shí)，它的形狀，大小，質(zhì)量差異全忽略不計(jì)了 。既方便又準(zhǔn)確的表示點(diǎn)的位置的方法，就是畫(huà)兩條相交線段，用交點(diǎn)表示一個(gè)點(diǎn)的位置 。
例三，借用其它學(xué)科內(nèi)的概念 。指定它代替本學(xué)科的原概念 。再逐步豐富內(nèi)涵，逐步清晰外延 。邏輯學(xué)中的原概念“命題”就是這樣處理 。
在邏輯學(xué)中，原概念是“命題” 。邏輯學(xué)研究的內(nèi)容，就是因果然關(guān)系的規(guī)律 。在該學(xué)說(shuō)中，一條陳述句就稱為命題 。
在基礎(chǔ)教育中，不能這樣簡(jiǎn)單引入這一概念 。當(dāng)某一事件Ａ發(fā)生之后，另一事件Ｂ必然發(fā)生或必然不發(fā)生 。存在這樣的關(guān)系的兩個(gè)事件，稱為存在因果關(guān)系 。生發(fā)生的事件稱為條件，隨之而發(fā)生事件稱為結(jié)果或結(jié)論 。完速陳述這一因果觀系的陳述句，稱為一個(gè)命題 。在條件成立的條件下，如果結(jié)論出現(xiàn)與陳述的內(nèi)容相反的結(jié)果 。（陳述為必然發(fā)生時(shí)，出現(xiàn)了不發(fā)生 。可者，陳述為必然不發(fā)生時(shí)，出現(xiàn)發(fā)發(fā)生 。）就稱這個(gè)命題為假 。否則稱這個(gè)命題為真 。
數(shù)學(xué)中研究變化的學(xué)科 。條件與結(jié)論的內(nèi)容中，常含有可變化的因素 。使得出現(xiàn)某些情況下，命題這真；出現(xiàn)另外的情況下，命題為假 。這樣的命題，邏輯學(xué)上做出規(guī)定， 。在何種情況下為真 。在何種情況為假 。分另稱為全稱命題與特稱命題 。具體定義如下：
當(dāng)每一種可變因素出現(xiàn)時(shí)，命題全為真，才稱命題為真 。這樣的命題稱為全稱命題 。
只要存在一種可變因素出現(xiàn)時(shí)，命題就為真 。就稱命題為真，這樣的命題稱為特稱命題 。
沒(méi)有預(yù)先定義真假，又出現(xiàn)既可能為真又可能為假的命題，就定義這樣的命題為假命題 。
在以上規(guī)定之下，任何一句陳述句，都可分出真假 。暫時(shí)分不出真假時(shí)，就稱這樣的命題為猜測(cè) 。
教學(xué)上，上述內(nèi)容，不能一次全講授 。小學(xué)只講因果關(guān)系概念 。按因果關(guān)系進(jìn)行推理判斷 。一對(duì)因果關(guān)系構(gòu)成一個(gè)定理或法則 。陳述定理或法則時(shí)，要把因果觀系陳述完整 。
初中，再把因果關(guān)系的整體，稱為命題 。（實(shí)質(zhì)，只把判斷型命題稱為命題 。）
高中，在適當(dāng)時(shí)期，通過(guò)邏輯學(xué)基本知識(shí)一章，適當(dāng)講一些邏輯系統(tǒng)知識(shí) 。從條件與結(jié)論與命題本身全中陳述句 。一個(gè)命題也可成為條件或結(jié)論 。把一句陳述句，在邏輯學(xué)中，統(tǒng)一稱為一個(gè)命題 。由于這并非定義，就不要作為判定定理來(lái)使用 。更不要去安排“判定一句陳述句是不是命題“的練習(xí) 。因?yàn)槊}概念是邏輯學(xué)中的原概念 。
例如，就不要讓學(xué)生去判斷一個(gè)幾何圖形是不是點(diǎn)？不要讓學(xué)生去判斷一句話，例如＂ｘ＞３＂是不是命題 。
對(duì)于可邏輯定義的概念 。一定要完整給出定義 。不能用一個(gè)充分條件或一個(gè)必要條件來(lái)加以引入之后，就不去建全定義了 。對(duì)小學(xué)生，常需要一個(gè)人過(guò)程，才能把定義完整建立起來(lái) 。既不能急，也不能省 。
例如，小學(xué)啟蒙數(shù)學(xué)時(shí)，講計(jì)數(shù) 。
計(jì)數(shù)的原則要求 。不重復(fù)，不遺漏 。首先就要明確計(jì)數(shù)的單位是什么，如何區(qū)別被兩個(gè)計(jì)數(shù)對(duì)象是相同還是不同 。要到講排列組合時(shí)，才能完整的講授 。但是，一開(kāi)始就要小學(xué)生遵守 。用傳統(tǒng)的方法，很難辦到 。引入現(xiàn)代數(shù)學(xué)集合論的成果，就容易一些 。就是把“一個(gè)“的概念作為原概念來(lái)引入，講授 。什么是一個(gè)，是人類主觀觀完成出來(lái)的（概念） 。現(xiàn)成的明顯獨(dú)立個(gè)體是常用的一個(gè) 。也可主觀規(guī)定什么為”一個(gè)“ 。只需兩次展示出來(lái)規(guī)定好的對(duì)象之后，能準(zhǔn)確區(qū)分是同一個(gè)還是不同的兩個(gè)即可 。每一個(gè)小朋友都可獨(dú)立自己去規(guī)定什么為一個(gè) 。在數(shù)學(xué)上，可以作一個(gè)的對(duì)象，統(tǒng)一用一個(gè)名稱稱呼 。稱為＂元素＂ 。不再使用特別量詞 。統(tǒng)一用” 個(gè)“作這計(jì)數(shù)單位 。然后，用一個(gè)通用方法，如何定義一個(gè)新的獨(dú)立個(gè)體 。就是把某些原數(shù)作為一個(gè)整體來(lái)看待 。這個(gè)整體稱為一個(gè)集合 。由人主觀規(guī)定 。只需規(guī)定之后 。每一介元素?cái)?shù)都可準(zhǔn)確判斷出它是這個(gè)集合的元素 。可不是這個(gè)集合的元素即可 。集合既是一個(gè)新元素，以是規(guī)范計(jì)數(shù)范圍的工具 。
創(chuàng)建一個(gè)概念，首先得有一個(gè)引入過(guò)程 。引入的實(shí)質(zhì)，就是用一個(gè)加強(qiáng)了的充分條件，來(lái)建立概念的一種具體表現(xiàn) 。特別是用舉一個(gè)具體實(shí)例，再指定這個(gè)實(shí)例就代表某個(gè)概念時(shí) 。就會(huì)產(chǎn)生這樣一種錯(cuò)覺(jué)“不是這種指定物的，就不是這個(gè)概念 。因?yàn)椴皇浅湟獥l件，逆定理不成立 。還存在著另外的充分條件 。因此最終必須完整的把邏輯定義陳述出來(lái)，才算創(chuàng)建成功了這個(gè)概念 。
例如，用兩平板，演示兩個(gè)平面的位置關(guān)系，可得出“平行“，”相交“，”重合“三個(gè)不同概念 。平行定義一定陳述：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱兩平面平行 。相交，原教材上就沒(méi)有給出定義 。重合也沒(méi)有給出定義 。當(dāng)已知兩個(gè)平面相交時(shí)，就不知道如何在推理證明中，使用這一條件了 。而且可能出現(xiàn)以下錯(cuò)誤判斷：“兩個(gè)平面不平行就相交” 。
兩個(gè)相交平面的定義：如果兩個(gè)平面既有公共點(diǎn)，也存在非公共點(diǎn)，則稱兩個(gè)平面相交 。因此，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，就不可能重合，也不可能平行了 。（這就是相交定義也可作為性質(zhì)定理使用 。）
小學(xué)數(shù)中，不少概念，由于受到學(xué)生知識(shí)面太窄，無(wú)法進(jìn)行邏輯定義 。引起一些模糊性 。造成一些學(xué)習(xí)困難 。我認(rèn)為，如果，把字符與字符串作為原概念引入，其它概念就可邏輯定義了 。
表示數(shù)字的字符：｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，0｝再由其中取出若干個(gè)，排成一排 。左側(cè)第一個(gè)不排“0” 。就稱一個(gè)表示數(shù)字的字符串 。表示數(shù)字的字符或字符串通稱為數(shù)字符 。
｛+，-，*，÷, ……｝等字符，稱為運(yùn)算符 。
｛=，≠，<，>，≤，≥……｝等字符稱為關(guān)系符 。（還有其它轉(zhuǎn)用字符，這里就不全舉出了 。）
純由數(shù)字符構(gòu)成的字符串，每一個(gè)表示一個(gè)數(shù)，稱為常數(shù) 。
由數(shù)字符與運(yùn)算符構(gòu)成的字符串，如果表示唯一個(gè)數(shù) 。這個(gè)字符串就稱數(shù)表達(dá)式 。
用關(guān)系符把兩個(gè)數(shù)式聯(lián)起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)字符串，稱為關(guān)系式 。只用等號(hào)“=”的稱為等式 。用不等號(hào)的稱為不等式 。
在小學(xué)的教學(xué)中，如下方式引入上述各概念 。
３＋４是一個(gè)字符串，由數(shù)了符與運(yùn)算符“＋“構(gòu)成，稱為一個(gè)表達(dá)式 。它既表示出，用３與４進(jìn)行加法運(yùn)稱；又表示加法所得正確結(jié)果，也就是表示某一個(gè)數(shù) 。這兩個(gè)數(shù)相加的和數(shù) 。
３＋４＝７.這個(gè)字符串中，多了一個(gè)關(guān)系符 。不能再稱為表達(dá)式，而稱為等式 。簡(jiǎn)章說(shuō)，含有關(guān)系符等號(hào)的字符串，稱為等式 。
如果算錯(cuò)了，得到 ３＋４＝６ 。這個(gè)字符串，如何稱呼？
按等式的定義，還是含有等號(hào)的字符串，應(yīng)稱為等式 。只是等號(hào)陳述的相等關(guān)系不成立的等式 。為也區(qū)別等陳述的關(guān)系成立的等式加以區(qū)別 。
３＋４＝７稱這恒等式
３＋４＝６稱為非恒等式 。又可稱為無(wú)解方程式 。不能說(shuō)“不是等式”！也可簡(jiǎn)說(shuō)為“相等關(guān)系不成立的等式” 。
變數(shù)概念
從｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，0｝這個(gè)字符集合內(nèi)隨意取出一個(gè)數(shù)字 。如何表示？這里存在著可變化的因素，用其中任何一個(gè)字符來(lái)表示，都表示不出這個(gè)可變因素 。就創(chuàng)建另一個(gè)字符或字符串來(lái)表示 。常用的辦法，取一個(gè)與上述字符不相同的符號(hào)，并加以說(shuō)明 。例如，取a表這這個(gè)集合中，隨意取出的某一個(gè)數(shù) 。這個(gè)a表示的數(shù)不確定，這樣表示出的數(shù)，稱為變數(shù) 。
表達(dá)式中，也可有變數(shù) 。這時(shí)，表達(dá)式表示的也是一個(gè)變數(shù)了 。以后的等式，不等式式中，都可含有變數(shù) 。這樣的數(shù)式，通稱為代數(shù)式 。由于0*a=0,在代數(shù)式中，這樣的字符串部分就省略不寫(xiě) 。因此，一個(gè)沒(méi)有變數(shù)的表達(dá)式中，可認(rèn)為它也含有+0*a.也可稱為代數(shù)式了 。因此，在數(shù)學(xué)中，代數(shù)式包括了表達(dá)數(shù)式 。與關(guān)系式 。關(guān)系式中分成等式與不等式 。
２×ｘ＝６也樣的字符串也稱為等式 。是不是恒等式？試算來(lái)看 。就是其中的變數(shù)，隨意取定一個(gè)值，取定之后，就可計(jì)算了 。正確算出來(lái)之后，就可判斷等號(hào)陳述的相等關(guān)系是否成立了 。如果出現(xiàn)了一個(gè)不成立的關(guān)系，測(cè)稱為非恒等式 。不存在相等關(guān)系不成立的可能 。才稱為恒等式 。
當(dāng)ｘ＝３，２＊３＝６．相等關(guān)系成立了 。
ｘ＝２．２＊２＝４≠６．出現(xiàn)了不等關(guān)系之后就不再試算了 。這個(gè)等式就不是恒等式 。但與 ３＋４＝６不同，存在一個(gè)變數(shù)之值值相等關(guān)系成立，因此稱為有解的方程式 。
有解的方程式與無(wú)解的方程式通稱方程式 。
這樣一來(lái)，等式分成兩類，恒等式與方程式 。
方程式中，表示變量的字符，又可稱為未知數(shù) 。當(dāng)這個(gè)變量的某個(gè)取值，使等式兩端所得的常數(shù)相等時(shí)，就說(shuō)這個(gè)常數(shù)是方程的解 。
解方程，就是求出方程的所有解，或判斷無(wú)解 。統(tǒng)一稱為解方程就是求出方程的解集（包括空集） 。
如果一個(gè)等式，暫時(shí)還判斷不準(zhǔn)是恒等式時(shí)，就可暫時(shí)看成方程式 。作為方程式來(lái)研究 。當(dāng)方程的解集與變量的許可取值集合相同時(shí)，就證明是恒等式了 。
運(yùn)算順序規(guī)則，表達(dá)式的恒等變形 。
每一個(gè)表達(dá)式，各變數(shù)取定值之后，計(jì)算出的結(jié)果，只表示唯一一個(gè)數(shù)值 。這時(shí)現(xiàn)階段的要求 。今后可放開(kāi) 。會(huì)出現(xiàn)明確指示 。
當(dāng)一個(gè)表達(dá)式中，運(yùn)算多于兩個(gè)時(shí)，不同的運(yùn)算順序，計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，可不一樣 。哪一個(gè)才是表達(dá)式所表示的數(shù)？數(shù)學(xué)中有明確的規(guī)定 。
先對(duì)運(yùn)算分類，分成三類 。加，減運(yùn)算稱為一級(jí)運(yùn)算，乘，除運(yùn)算稱為二級(jí)運(yùn)算，其它運(yùn)算稱為三級(jí)運(yùn)算 。
如果某一個(gè)表達(dá)式中只有一級(jí)運(yùn)算，或只有二級(jí)運(yùn)算 。而且沒(méi)有出現(xiàn)括號(hào)，在則規(guī)定從左向右依次運(yùn)算 。
如果有一，二兩級(jí)運(yùn)算都存在時(shí)，沒(méi)有括號(hào)時(shí)，規(guī)定先算二級(jí)運(yùn)算 。多個(gè)二級(jí)運(yùn)算連著時(shí)，這部分從左向右依次運(yùn)算 。各連著部分分別運(yùn)算，算完之后，只乘下一級(jí)運(yùn)算，再?gòu)淖笙蛳蛴乙来芜\(yùn)算各個(gè)一級(jí)運(yùn)算 。算完為止 。
以上運(yùn)算規(guī)則，在中國(guó)傳統(tǒng)簡(jiǎn)稱為“先乘除，后加減” 。過(guò)于簡(jiǎn)化了 。
括號(hào)的概念與用法 。
例如 。３＋４既表示一個(gè)加法運(yùn)算，又表示加法的運(yùn)算結(jié)果，這兩個(gè)數(shù)相加的和數(shù) 。既是一個(gè)式子又表示一個(gè)數(shù) 。當(dāng)為了突出是表示數(shù)時(shí)就用一對(duì)括號(hào)，把這個(gè)表達(dá)式完整的括起來(lái) 。一對(duì)括號(hào)就表示一個(gè)數(shù)需先算出來(lái)之后，才可與其它數(shù)進(jìn)行下一步的運(yùn)算 。（３＋４）×５.就要先算括號(hào)內(nèi)的加法運(yùn)算，然后再算乘法 。
兩個(gè)表達(dá)式，何時(shí)算是同一個(gè)表達(dá)式，或不同的表達(dá)式？
把兩個(gè)表達(dá)式各排一行，并列排起來(lái) 。從左向右依次對(duì)齊 。不一樣長(zhǎng)就不是同一表達(dá)式，同一樣長(zhǎng)時(shí)，對(duì)著的字符全要同，才算兩個(gè)表達(dá)式是同一個(gè)表達(dá)式 。如果兩個(gè)不同的表達(dá)式，不相同，構(gòu)成的等式是恒等式，就說(shuō)兩個(gè)表達(dá)式之一可恒等變形為別一個(gè)表達(dá)式 。
每一個(gè)表達(dá)式變形，都要求是恒等變形 。算術(shù)中，通過(guò)建立交換律，結(jié)合律，分配律 。來(lái)保證變形為恒等變形 。在代數(shù)中，這個(gè)些規(guī)律可轉(zhuǎn)化為保持恒等變形的具體法測(cè) 。這需建建立一些概念 。其實(shí)，對(duì)于這此概念，算術(shù)與代數(shù)的界限可打破的 。
只含加減運(yùn)算的表達(dá)式，可稱為多項(xiàng)式 。對(duì)參與運(yùn)算的數(shù)與運(yùn)算符之間存在以下關(guān)系 。數(shù)的個(gè)數(shù)恰比加減符個(gè)數(shù)多一個(gè) 。有幾個(gè)數(shù)參與運(yùn)算，這個(gè)表達(dá)式就稱為幾項(xiàng)式 。
３＋４是是二項(xiàng)式，
３＋５－４ 最三項(xiàng)式
３＋７－（６－２）是三項(xiàng)式，每一個(gè)括號(hào)所表示的只是一個(gè)數(shù)所起的作用 。
數(shù)字現(xiàn)它前側(cè)的運(yùn)算符一起，作一個(gè)整體時(shí)，稱為一項(xiàng) 。最左側(cè)一項(xiàng)，認(rèn)為是省略了運(yùn)算符“＋”號(hào)的一項(xiàng) 。
所有運(yùn)算全是乘陳號(hào)的表達(dá)式，稱為單項(xiàng)式 。單項(xiàng)式中的運(yùn)算不只一個(gè)，參與的數(shù)字符不只一個(gè) 。單項(xiàng)式中，每一個(gè)數(shù)字符不再稱為一項(xiàng) 。而稱為一個(gè)因數(shù) 。因數(shù)個(gè)數(shù)部比乘除號(hào)的個(gè)數(shù)多一個(gè) 。
當(dāng)單項(xiàng)式歸入多項(xiàng)式時(shí)，就是一項(xiàng)式 。就是在一個(gè)表達(dá)式中，四則運(yùn)算全有時(shí)，不同單項(xiàng)式作為不同的一項(xiàng)出現(xiàn)，連同前面的加減運(yùn)算符一個(gè)整體稱為一項(xiàng) 。
多項(xiàng)式的恒等變形法則：通過(guò)改這運(yùn)算順序來(lái)變形 。運(yùn)算順序的變化立式 。改變項(xiàng)在表達(dá)式中的位置或加括號(hào)或去括號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn) 。
一，改變項(xiàng)的位置時(shí)，聯(lián)同數(shù)前面的運(yùn)算符一同移動(dòng) 。也可以說(shuō)，“整項(xiàng)一起移動(dòng)” 。（在學(xué)習(xí)整數(shù)概念以前，項(xiàng)前的符號(hào)為“－“號(hào)時(shí)，不得移到最左側(cè)成為第一項(xiàng) 。是“＋”時(shí)，可移移到第一位置 。移到之后，“＋”號(hào)，省略不寫(xiě) 。首項(xiàng)移出時(shí)，不要忘了先添加上“＋“號(hào) 。移動(dòng)時(shí)，單項(xiàng)式作為一個(gè)整體來(lái)移動(dòng)，連同前面的運(yùn)算符 。
二．加括號(hào)時(shí)，一對(duì)括號(hào)又一對(duì)括號(hào)的添加 。前側(cè)括號(hào)加在運(yùn)算符之后，數(shù)字符之前 。后一側(cè)括號(hào)加在數(shù)字之后，運(yùn)算符之前 。添加了括號(hào)之后，就要先算括號(hào)內(nèi)的一切運(yùn)算 。保持恒等的法則：
當(dāng)括號(hào)前是“＋”時(shí)，括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算符保持原樣 。
當(dāng)括號(hào)前是“－”時(shí)，括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算符都要改變，加號(hào)變減號(hào)，減號(hào)變加號(hào)（與乘除號(hào)無(wú)關(guān)） 。
逆過(guò)來(lái)就是去掉括號(hào) 。當(dāng)括號(hào)前是加號(hào)時(shí)，去掉即可 。當(dāng)括號(hào)前是減號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)之后，原括號(hào)內(nèi)的加減號(hào)，都要變成逆運(yùn)算的運(yùn)算符 。否則，不是恒等變形了 。
傳統(tǒng)處理方法：學(xué)完整數(shù)運(yùn)算之后，減去某個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)，就可把每一項(xiàng)的運(yùn)算符都可變成加號(hào)了 。這樣一來(lái)，變好之后，表示數(shù)的字符就可隨意交換位置而保持恒等了 。
添加括號(hào)，去括號(hào)而保持恒等的變形 。還可通過(guò)分配律來(lái)進(jìn)行 。分配律是一級(jí)運(yùn)算與二級(jí)運(yùn)算同在時(shí)，才可使用 。分配律的全稱：乘法對(duì)加減法的分配律 。除不對(duì)加減法的分配律 。用恒等式表示如下：
（ａ±ｂ）＊ｃ＝ａ＊ｃ±ｂ＊ｃ
（ａ±ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ±ｂ÷ｃ
逆過(guò)來(lái)，坐右向左，稱為分解因式的提取公因式 。
對(duì)于等式的變形 。
兩個(gè)等式如何區(qū)號(hào)是同一等式還是不同的兩個(gè)等式？
等式中，等號(hào)兩側(cè)各是一表達(dá)式 。當(dāng)且僅當(dāng)，同側(cè)的兩個(gè)表達(dá)式都相同時(shí)，才認(rèn)為等式是同一個(gè)等式 。否則兩個(gè)等式就算不同的兩個(gè)等式 。
當(dāng)兩個(gè)等式不同，但是，使兩個(gè)等式陳述的相等關(guān)系成立的變量組的集合相等；且使兩個(gè)等式陳述的相等關(guān)系不成立的變量組的集合也相等時(shí) 。則稱這種等式的變形為同解變量 。又稱這兩個(gè)等式同解 。恒等式同解變形之后，還時(shí)恒等式 。方程式同解變形之后，解集不變 。無(wú)解方程不會(huì)變成有解方程，逆之也真 。
也可以只對(duì)方程式來(lái)說(shuō)，方程式變形之后，解集合不變時(shí)，這種變形稱為方程式的同解變形 。
同解變形的法測(cè)
等式兩端的表達(dá)式，分另進(jìn)行恒等變形時(shí)，是同解變形
等式兩端同加一個(gè)數(shù)或同減一個(gè)數(shù)，是同解變形 。從形式上說(shuō)，特殊情況就是把一個(gè)多項(xiàng)式從等式一端移動(dòng)到另一端，每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)全反號(hào) 。是同解變形 。
等式兩端同乘一個(gè)非０的數(shù)，或同除一個(gè)非０之?dāng)?shù)，是同解變形 。形式上就是，一端表達(dá)式的因數(shù)可以移向另一端，當(dāng)稱每乘作除或移除作乘時(shí)，是同解變形 。
同乘一個(gè)可為０的變數(shù)，不是同解變形，可能增加方程的根 。需驗(yàn)根后去掉這個(gè)增根 。（方程兩端乘方之后，就是乘上了可能為０的因數(shù)，可能增根 。）
同除以一個(gè)可為０的數(shù)，就是約去了一個(gè)可為０的表達(dá)式時(shí)，可能遺漏根 。使因數(shù)為０的數(shù)，有可能就是方程遺漏的根 。
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