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2的平方根是無理數(shù)嗎 2的平方根為什么是無理數(shù)

生活百科 無理數(shù)

為什么是無理數(shù)？（這里暫不討論負根）
我們可以首先對它的大小有個粗略估計，因為它被定義為2的平方根，所以我們可以從平方數(shù)入手來推算它的大小范圍：
(=1)<(=2)<(=4)
所以的值肯定介于1和2之間，比如是1.3、1.4……之類的 。
因為有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式（其中、都是整數(shù)，非零），這也是有理數(shù)的定義，比如：
1=、0=、0.5=、0.3333……=、=1.125、
0.589285714 285714 285714 285714……=等等都是有理數(shù) 。
證明是無理數(shù)，我們可以用反證法 。
我們假設(shè)是有理數(shù)，那么肯定=某個，首先我們可以逐步假設(shè)，來討論并嘗試性地思索一下，形成一個粗略的認識：
在=中，首先和都不會為零 。
假設(shè)=1：那么絕對不能等于1，因為那樣=1，所以在這時作為整數(shù)只能是2的，假設(shè)=2，則=，而前面已經(jīng)說過肯定是大于1小于2的，所以2是絕對不成立的，而在本假設(shè)下只能2，所以=1的假設(shè)不成立，絕對2 。
假設(shè)=2：那么既不能取1也不能取2，因為==2，==1與“肯定是大于1小于2”相違背的，但是如果繼續(xù)沿著數(shù)軸取值，=<1，所以3的所有整數(shù)都與“肯定是大于1小于2”相違背的，這時無法取任何整數(shù)，所以本假設(shè)也不成立，也絕對不能等于2 。
假設(shè)=3：那么根據(jù)上面的推理過程，取1、2、3以及大于3的整數(shù)都不成立，你可以口算一下 。
好了，我們嘗試性的思索就停在這里吧，現(xiàn)在可以歸納了，即如果可以寫成的形式，絕對會取大于3的某一個整數(shù)，而肯定取的是/2和之間的某個整數(shù)，而且我們排除了取1和2的可能（可以口算出來當=4的時候就會把取2排除掉） 。
假設(shè)已經(jīng)找到了某個=，根據(jù)分式的運算規(guī)則，和都應該能化簡成互相沒有公因式的兩個互質(zhì)整數(shù)，比如=，和互質(zhì) 。
我們?yōu)槭裁丛谏厦驷溽嗨妓髁四敲撮L時間，就是為了表明，如果=成立，那么n和m是有底線的，它們絕對不會小到1、2、3，而且也不會小到4、5、6去，它們上下約分后化為互質(zhì)的兩個數(shù)絕對是兩個比較大的整數(shù) 。
就算上下還可以再約分，它也不會無休止地進行下去，也肯定會卡在某個地方再也不能約分，這時就是和的取值 。
好了，關(guān)鍵的時刻到了！
設(shè)=，和就是最終那兩個互質(zhì)的整數(shù)值，那么=，就有，這里明顯可以看出，是個偶數(shù) 。
讓我們暫停一下，來回顧一下，設(shè)是偶數(shù)，=(為任意整數(shù))，那么，一個偶數(shù)的平方依然絕對是一個偶數(shù)；如果是奇數(shù)，，那么，一個奇數(shù)的平方依然絕對是一個奇數(shù) 。
所以反過來說，如果是偶數(shù)，那么不可能為奇數(shù)，它必須為偶數(shù)，因為奇數(shù)的平方依然是奇數(shù) 。
所以可以設(shè) 。
把代入得到 。
我們又看到了一絲曙光，上式后兩項可以再約去2，于是，哈哈！大家應該馬上就能明白一件事情，竟然也是偶數(shù)，它還說明了一件事情，肯定也為偶數(shù) 。
我們轉(zhuǎn)了半天，原來=，這里面的和竟然都是偶數(shù) 。
和都是偶數(shù)，說明一個嚴重的事實，和不互質(zhì)！！
所以只能斷定假設(shè)肯定是錯誤的 。
【2的平方根是無理數(shù)嗎 2的平方根為什么是無理數(shù)】所以肯定是無理數(shù)！

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