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高考數學拉格朗日點

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書接上回，我們今天繼續美妙的拉格朗日點L4點和L5點，說實話拉格朗日作為數學家能推算這兩個點真是[贊][贊][贊]
首先我們先簡單了解一下這兩個點 。這兩個點位于以兩個大物體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上 。為什么是等邊三角形，我們下期會證明我們這期主要說明這兩個點為什么是拉格朗日點？

高考數學拉格朗日點

文章插圖
重點來了：我們以地球和月球為例來說明，假設地球的質量為M，其質心在O1，月亮的質量為m，其質心在O2，月亮和地球的距離為R，小物體的質量為u，整個系統的質心為O，系統質心和地球的距離為x，P點為L4點，PO的距離為r，等邊三角形O1O2P的邊長顯然為R 。
因為L4點上的小物體質量遠小于地球和月亮的質量，所以我們認為整個系統的質心在地球和月球的連線上，即O點，所以小物體也是圍繞O點在旋轉 。
由雙星系統的知識我們可以得到x=Rm/(m+M)，則在三角形O1OP中，利用余弦定理可得r=R*根號下（m的平方+M的平方+mM)/(m+M)，再利用正弦定理可得角O1PO的正弦等于m（sin60度）根號下/（m的平方+M的平方+mM) 。這些都是純幾何知識 。
接下來我們看一下小物體在拉格朗日點受到的合外力即向心力是不是也在PO這條線上？
地球對小物體的萬有引力等于GMu/(R的平方)，月球對小物體的萬有引力等于Gmu/(R的平方)，則合力根據計算易得Gu*根號下（m的平方+M的平方+mM)/(R的平方)，所以利用正弦定理可知地球對小物體的萬有引力與合力的夾角的正弦等于m（sin60度）根號下/（m的平方+M的平方+mM) 。
根據這兩個正弦值相等，我們可知拉格朗日點受到的合外力即向心力確實是在PO這條線上，即指向質心O點 。這是超級重要考點 。
當然指向質心不一定就可以作為整體共同轉動，我們還需要從拉格朗日點處小物體做勻速圓周運動需要的向心力和萬有引力的合力提供的向心力是否相等才能真正判定 。
分別以地球和月球為研究對象，忽略小物體的萬有引力對他們的影響，則可以得到，
【高考數學拉格朗日點】GMm/（R的平方）=M(ω的平方)x
GMm/（R的平方）=m(ω的平方)(R－x)
由上面兩個式子可得ω的平方=G(M+m)/R的立方
所以小物體所需要的向心力等于u(ω的平方)r=Gu*根號下（m的平方+M的平方+mM)/(R的平方)與萬有引力的合力恰好相等，到此我們就完美的證明了[可愛]
同理L4點關于地球月球連線的對稱點就是L5點 。
最后補充一點，如果L4點稍微往下移動一點，則萬有引力的合力提供的向心力就變小了，而小物體維持勻速圓周運動所需要的向心力變小，所以小物體仍舊可以回到原來的位置 。可見這兩個點是相當穩定 。

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