棱錐體積公式的微積分推導 _體積

牛頓說過，一大類問題，如果已經知道函數的導函數，就可以根據微積分基本定理，用求積分的辦法求出原函數，這是微積分的基本精神，也是數學物理方法解微分方程的基本精神。我們以棱錐為例，來實踐牛頓的基本思想，看看微積分的威力。
體積對高度的導數
棱錐V-ABC中，令高AH =H，設底面⊿ABC的面積為S 。過VH上任意一點H’做平面
A'B'C'//ABC，且與三條棱分別相交于A’,B’,C’ 點，與VH相交于H’ 。則有：AB//A’B’，BC//B’C’，CA//C’A’ 。且AH’⊥平面A’B’C’ 。所以⊿ABC與⊿A’B’C’對應的角相等，所以⊿ABC∽⊿A’B’C’ 。令⊿A’B’C’的面積為s,則有:

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圖1
連接A,H,H,B;連接A’,H’,H’.B’；AH//A’H’,HB//B’H’,AB//A’B’.所以⊿ABH，⊿A’B’H’對應的角相等, 得到⊿ABH∽⊿A’B’H’ 。

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這是s->h 函數關系，定義域為（0,H] 。
現在我們將v設為棱錐V-A’B’C’的體積，H’變化,v也將隨之變化，這樣v也是h的函數，我們來求：

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【棱錐體積公式的微積分推導】在平面A’B’C’附近一點再做一平面平行于ABC且與AH相交于H’’，與對應的棱相交于A’’,B’’,C’’，令⊿h=H’H’’. 現在過A’,B’,C’;A’’,B’’.C’’分別向做平面A”B”C”與A’B’C’做垂直線，與相對平面相交形成的兩個棱柱的剛好夾住了所截取的棱錐部分。設所夾的棱錐部分的體積為⊿v 。