做CAE經(jīng)常用到的泊松比是什么胡克定律

作為CAE工程師，你有沒有思考過做線性靜力學分析時，為什么只需要楊氏模量和泊松比兩個材料參數(shù)？
原因很簡單，要表征材料在承受小的拉伸或壓縮載荷下的變形，只需要知道材料在拉壓方向和垂直于拉壓方向的變形規(guī)律，即可描述整個模型的完整變形狀態(tài)；拉壓方向變形規(guī)律用楊氏模量描述，垂直于拉壓方向的變形規(guī)律可用泊松比描述。
1、泊松比是什么？
法國力學家西莫恩·德尼·泊松于1829年發(fā)表《彈性體平衡和運動研究報告》，提出泊松比概念。
桿件受拉伸或壓縮載荷，應力不超過比例極限時，橫向應變ε'與軸向應變ε 之比的絕對值是一個常數(shù) ，可表示為 μ=|ε'/ε|；當桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮短時橫向增大，所以ε'和ε的正負號總是相反的，因此ε'=-με 。

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軸向壓縮時橫向增大

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軸向拉伸時橫向縮小
由泊松比定義可知，其描述的是垂直于拉壓方向的變形規(guī)律。對于各向同性材料，只需要一組楊氏模量和泊松比即可完整描述材料變形；對于正交各向異性材料，需要三個方向分別定義一組楊氏模量和泊松比才能完整描述材料變形。
【做CAE經(jīng)常用到的泊松比是什么胡克定律】2、泊松比取值范圍
下表是常見材料的泊松比，包括橡膠、金屬、泥、玻璃等材料，可以看到泊松比最大的是橡膠0.4999 ，最小的是軟木塞0 。

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常見材料泊松比
那么從理論上來說，泊松比的最大最小值分別是多少呢？答案如本文標題，泊松比理論上取值范圍為-1~0.5 。
下面開始證明。
2.1 泊松比最大值為0.5
有經(jīng)驗的工程師知道，橡膠是完全不可壓縮的材料，其泊松比為0.5 。為了計算結果的收斂性，仿真分析中一般將橡膠的泊松比調(diào)下整為0.495 ，表示近似完全不可壓縮。
為什么泊松比最大值只能是0.5 ，泊松比取0.5又為什么表示完全不可壓縮呢？
材料力學中的體積胡克定律可以解釋這一切。
體積胡克定律表示單位體積的體積改變量，計算公式如下：
θ=(V1-V)/V=3(1-2μ)/E*(σ1+σ2+σ3)/3=σm/K
其中
V1表示變形后體積，
V表示變形前體積，
θ表示單位體積的體積改變量，又稱體應變；
K=E/3(1-2μ)為體積彈性模量，
σm=(σ1+2+σ3)/3是三個主應力的平均值。
下面是體積胡克定律推導過程。
取一三維微元，變形前長寬高分別為 dxdydz
，則變形前體積 V=dxdydz；

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變形后三個棱邊長度分別為：

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變形后的體積

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，略去高階小量有

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。
由體積胡克定律計算體應變：

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(1)
由廣義胡克定律，在考慮泊松效應時， xyz三個方向都受力的情況下，
ε1 ， ε2 ， ε3計算公式為

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(2)

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(3)

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(4)
將式(2)(3)(4)代入式(1)中有

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K=E/3(1-2μ)為體積彈性模量，
σm=(σ1+2+σ3)/3是三個主應力的平均值。
若 μ=0.5 ，則體積彈性模量K無限大，體應變 θ=0 ，即完全不可壓縮，這就解釋了當泊松比取0.5時，表示材料完全不可壓縮；體積彈性彈性模量不可能取負值，因此泊松比最大值為0.5 。
2.2 泊松比最小值為-1
由楊氏模量、剪切模量和泊松比三者關系 G=E/2(1+μ)
，又有楊氏模量和剪切模量都取正值，因此泊松比最小值為-1 。
3、負泊松比材料
泊松比小于0表示桿受拉力變長時，其截面尺寸也在變大，體積增加；材料受壓力時，其截面尺寸變小，體積也變小。

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負泊松比材料由威斯康星大學的Roderic Lakes教授于1987年在Science上發(fā)表的論文Foam structures with a negative Poisson's ratio", Science, 235 1038-1040 (1987).中首先提出，負泊松比材料中存在特殊的鉸鏈分子鍵，橫向鉸鏈必須張開才能實現(xiàn)長度方向的拉伸。