那些走在前面的普通人 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

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從來(lái)沒(méi)有一門學(xué)科如數(shù)學(xué)般被人誤解。人們對(duì)它的刻板印象根深蒂固，一個(gè)廣為流傳的說(shuō)法是“數(shù)學(xué)無(wú)用” 。
數(shù)學(xué)家們?cè)谡劶皵?shù)學(xué)時(shí)往往醉心于它的美妙之處，但高深的數(shù)學(xué)理論距離普通人的生活太過(guò)遙遠(yuǎn)，以至于早年間互聯(lián)網(wǎng)上還產(chǎn)生了“買菜用不上微積分”的段子。
問(wèn)題同樣困擾著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者們。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代在他那本著名的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》中花了不少篇幅討論數(shù)學(xué)的用處，但他卻表示，“只有少部分?jǐn)?shù)學(xué)有用，而即此少部分也較為乏味，真正數(shù)學(xué)家的真正數(shù)學(xué)（無(wú)論其為應(yīng)用數(shù)學(xué)或純粹數(shù)學(xué)），即費(fèi)馬、歐拉、高斯、阿貝爾、黎曼的數(shù)學(xué)，幾乎全部無(wú)用。”

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最后他總結(jié)說(shuō)，“如能解釋真正數(shù)學(xué)的存在，則應(yīng)解釋為藝術(shù)” 。甚至對(duì)自己的數(shù)學(xué)生涯，他也不吝評(píng)價(jià)說(shuō)，“從任何實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)，我的數(shù)學(xué)生涯的價(jià)值是零。”
幾十年過(guò)去后，哈代的言論被一再推翻——20世紀(jì)末的科技爆炸無(wú)一不是建立在數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)之上。但這樣問(wèn)題有時(shí)仍然會(huì)困擾著當(dāng)代的數(shù)學(xué)家們，某些時(shí)候他們自己也不得不對(duì)外承認(rèn)，“（數(shù)學(xué)里邊的）某些學(xué)科要是停頓10年或20年，本身對(duì)社會(huì)沒(méi)有什么大的負(fù)面影響。”（北大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)陳大岳語(yǔ)）
“數(shù)學(xué)走在前面”，數(shù)學(xué)家張益唐指出，數(shù)學(xué)的“無(wú)用”實(shí)質(zhì)是“超前”，“數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)的時(shí)候不一定關(guān)心，也不知道怎么用，結(jié)果發(fā)現(xiàn)過(guò)了幾十年以后，這個(gè)東西可以在自然科學(xué)上有一些連發(fā)明者都想象不到的應(yīng)用。”
這樣的例子在數(shù)學(xué)歷史上屢見(jiàn)不鮮，這也正是數(shù)學(xué)被視作自然學(xué)科之母的原因。微積分為近代物理的研究奠定了基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)家哈代和德國(guó)醫(yī)生溫伯格分別獨(dú)立證明的“哈代-溫伯格定律”是群體遺傳學(xué)的科學(xué)基礎(chǔ) 。X射線計(jì)算機(jī)層析攝影儀 (簡(jiǎn)稱CT) 的問(wèn)世堪稱上世紀(jì)醫(yī)學(xué)中的奇跡，但它的理論基礎(chǔ)卻來(lái)自于數(shù)學(xué)中的Radon變換。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的“有用”與否也不應(yīng)該成為數(shù)學(xué)家的困擾。北大數(shù)學(xué)的“黃金一代”的代表人物劉若川說(shuō)，“數(shù)學(xué)能對(duì)不同學(xué)科起作用，但是對(duì)什么學(xué)科起作用、以什么樣的方式起作用，并不是人們事先能夠預(yù)料的。如果我們拘泥于所謂的‘有用之學(xué)’，就可能永遠(yuǎn)跟在別人的后面，甚至有停滯的危險(xiǎn) 。”
“客觀上講確實(shí)仍然有大量的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，目前不知道有什么應(yīng)用”，Egon Balas獎(jiǎng)得主、曾任加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授的數(shù)學(xué)家印臥濤說(shuō)，“但這并不妨礙大家去研究，甚至花費(fèi)畢生的精力去探索其中的一些奧秘，因?yàn)閿?shù)學(xué)從基礎(chǔ)到應(yīng)用有著一個(gè)金字塔一樣支撐的體系。”
某種程度上，人們對(duì)數(shù)學(xué)的探索與登山類似。英國(guó)登山家喬治·馬洛里在被問(wèn)及為何要攀登珠穆朗瑪峰時(shí)，他回答說(shuō)，“因?yàn)樯骄驮谀抢铩?。
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關(guān)于數(shù)學(xué)的另一個(gè)根深蒂固的誤解，是數(shù)學(xué)乃只屬于少數(shù)人的游戲。
某種程度上它確實(shí)如此。歷史上那些偉大的數(shù)學(xué)家們一而再地證明了這一點(diǎn) 。牛頓最偉大的思想微積分和萬(wàn)有引力是在他24歲時(shí)產(chǎn)生的，高斯預(yù)測(cè)存在非歐幾何學(xué)時(shí)不過(guò)16歲，最近一位獲得菲爾茨獎(jiǎng)的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒7歲讀高中，9歲上大學(xué)，24歲成為加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系終身教授。
中國(guó)最頂尖學(xué)府北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院每年招生200人左右，但仍只有少數(shù)人最終才會(huì)將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究作為畢生事業(yè) 。即便是后來(lái)被譽(yù)為“黃金一代”的數(shù)院2000級(jí)，最后以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究為業(yè)的也不超過(guò)15人，2001級(jí)中甚至只有五六個(gè)人（《人物》雜志）。
眾多的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也不會(huì)出現(xiàn)普通人的身影。那是奧數(shù)天才們、數(shù)學(xué)系的大學(xué)生們作為提高自己的一種手段。事實(shí)上，不少數(shù)學(xué)競(jìng)賽也人為設(shè)置了不少門檻，普通人難以參與其中。
“數(shù)學(xué)并不是一個(gè)絕對(duì)大眾的，像棋牌類的活動(dòng)”，2019年加入阿里達(dá)摩院的數(shù)學(xué)家印臥濤對(duì)此有不同的看法，“但數(shù)學(xué)可以比我們所想象的有趣得多，也可以更適合大眾。”
印臥濤同時(shí)也是阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)成員之一。這項(xiàng)賽事自2018年至今已舉辦四屆。這可能是世界上參賽選手構(gòu)成最復(fù)雜的一個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽——年齡上下至14歲的初中生，上至83歲的老人；除了那些頂尖學(xué)府的數(shù)學(xué)高材生們，參賽選手的職業(yè)五花八門，有醫(yī)生，也有程序員，有在大洋漂泊的海員，也有在上海走街串巷的城管。
印臥濤參與了多次阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽的籌備，但給他留下最深刻印象的還是那些普通人。因?yàn)椋拔覐膩?lái)沒(méi)有在任何其他比賽或者數(shù)學(xué)相關(guān)的場(chǎng)景上見(jiàn)到他們” 。
“它和其他數(shù)學(xué)競(jìng)賽最大的不同就是包容性”，印臥濤將包容視作這項(xiàng)賽事的最突出的特點(diǎn)，它不對(duì)參賽選手的年齡、背景、資格等做任何限制。又因它是線上賽事，理論上，只要你有網(wǎng)絡(luò)，就可以參與其中。過(guò)去四年，有近20萬(wàn)人次參加了比賽，覆蓋全球70余個(gè)國(guó)家及地區(qū) 。

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2022阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)名單
這種包容性是在第一屆阿里全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽籌辦之初就確定下來(lái)的。舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽的提議來(lái)自于馬云。馬云稱自己對(duì)數(shù)學(xué)懂得不多，但非常敬畏數(shù)學(xué) 。在第一屆賽事的頒獎(jiǎng)典禮上，他說(shuō)，希望數(shù)學(xué)可以成為每個(gè)人的基本興趣，如同音樂(lè)、繪畫(huà)、運(yùn)動(dòng)一樣，成為人類成長(zhǎng)的樂(lè)趣。
對(duì)于那些不是以數(shù)學(xué)為業(yè)的人們來(lái)說(shuō)，這更像是某種錯(cuò)失后的回歸——并不是所有人都能走向數(shù)學(xué)金字塔的塔尖，但這并不意味著數(shù)學(xué)王國(guó)的大門就此關(guān)閉。作為人類最古老的學(xué)科之一，數(shù)學(xué)對(duì)于所有人都是平等的，它的美妙既會(huì)出現(xiàn)在那些頂尖刊物的論文之中，也會(huì)出現(xiàn)在普通人的書(shū)桌前。
陳澤坤是今年阿里全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽的金獎(jiǎng)得主。他現(xiàn)在在北京大學(xué)北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心攻讀博士學(xué)位，研究方向是數(shù)論。他說(shuō)自己做數(shù)學(xué)并沒(méi)有什么高大的理由，“人是不會(huì)因?yàn)橐粋€(gè)事情非常偉大而去選擇做這些事情的。”支撐他走下去的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“日常的很小的快樂(lè)”，“比如說(shuō)你在學(xué)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很amazing的事情，很神奇的東西，這個(gè)時(shí)候你會(huì)‘哇’ 。”
B
今年已經(jīng)是陳澤坤第三次參加阿里數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他對(duì)于比賽的最大感受是“這個(gè)比賽非常的快樂(lè)” 。

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陳澤坤
“很多題都有很多非常不相關(guān)的做法，非常神奇。”他記得預(yù)賽里有一個(gè)題目，他用了數(shù)論中的一個(gè)經(jīng)典定理范德瓦爾登定理來(lái)作答。后來(lái)交卷后他與同學(xué)交流，發(fā)現(xiàn)同學(xué)用的是一個(gè)和他完全不同的解法，運(yùn)用了圖片函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，“這兩個(gè)做法毫無(wú)關(guān)系，但是（都）可以得出答案。”
有趣是賽事命題者們追求的方向之一。命題組的一位專家說(shuō)，一道試題，他們常常要冥思苦想最少一個(gè)月，甚至兩個(gè)月才能完成。“出一道題，就像在一個(gè)城市中心建一座摩天大樓，需要為人們提供進(jìn)入這個(gè)大樓的多條路徑，讓人們通過(guò)各自方式迂回進(jìn)入大樓，拾級(jí)而上，登上樓頂。”
試題的有趣與否能帶動(dòng)人們對(duì)數(shù)學(xué)熱情。事實(shí)上，阿里數(shù)學(xué)競(jìng)賽的預(yù)賽試題常常會(huì)與人們的日常生活相結(jié)合，在考察數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)之上，也要做到有趣。
“簡(jiǎn)單地說(shuō)，比如地球有多大，我們從地球一邊飛往另一邊需要飛多久，都需要通過(guò)進(jìn)階一點(diǎn)的數(shù)學(xué)計(jì)算；再比如我們的醫(yī)療保險(xiǎn)、勞動(dòng)保障等如何分配公平，如何投資比較有效，如何減少風(fēng)險(xiǎn)等，都要利用到數(shù)學(xué) 。數(shù)學(xué)并不是大家所想象的競(jìng)賽題或者做題那樣單調(diào)、枯燥的事情，其實(shí)是很有趣的”，印臥濤說(shuō) 。
今年的預(yù)賽試題中就有不少這樣的例子。比如，如果你是冬奧會(huì)開(kāi)幕式的技術(shù)助理，應(yīng)當(dāng)如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)研究無(wú)人機(jī)節(jié)目表演的合理性？又或者，將快遞員與快遞站之間的運(yùn)動(dòng)作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，來(lái)去論證相關(guān)公式。
與以往不同的是，今年的阿里數(shù)學(xué)競(jìng)賽增加了面向大眾征題的環(huán)節(jié)，共收到了145道大眾出題賽題。在經(jīng)過(guò)專業(yè)命題組的逐一篩選、修改、測(cè)試、驗(yàn)證及打磨后，有2道試題入選預(yù)賽，2道進(jìn)入決賽。
預(yù)賽中一道“如何集牛奶卡換新年紅包”的試題就來(lái)自于大眾征題。它融合了當(dāng)下流行的盲盒與抽卡概念，考核的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)期望，也是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念變式。出題人顧陳琳說(shuō)，題目靈感來(lái)自于小時(shí)候吃干脆面集卡的記憶。
印臥濤認(rèn)為，大眾參與命題讓不少題目都變得極具意義。它不僅是數(shù)學(xué)王國(guó)向公眾敞開(kāi)的一道大門，更像是一場(chǎng)平等的交流。正如大賽在賽題征集中所說(shuō)的，“Math is everywhere for everyone（數(shù)學(xué)無(wú)處不在）。”
38歲的上海城管俞嘉超也向大賽投遞了試題，單是演算過(guò)程他就寫(xiě)了幾大頁(yè)，但最終未能入選。他說(shuō)，“題目投出去，是不是入選不重要，如果能借此機(jī)會(huì)和高手對(duì)話，就滿足了。”
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北大數(shù)院2000年前后入學(xué)的那一批學(xué)生常被人們稱作是“黃金一代” 。他們?cè)缭绲卦跀?shù)學(xué)領(lǐng)域取得突破性的成果，并屢次斬獲數(shù)學(xué)界的多個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng) 。
許晨陽(yáng)在博士后時(shí)期就在代數(shù)幾何方向取得了一系列突破性成果，劉若川被稱作是“p進(jìn)制霍奇理論研究領(lǐng)域最好的世界級(jí)專家之一” 。惲之瑋和張偉合作發(fā)現(xiàn)證明了函數(shù)域中的高階Gan-Gross-Prasad猜想，被《量子雜志》評(píng)價(jià)為“過(guò)去三十年來(lái)在數(shù)論重要領(lǐng)域最令人激動(dòng)的突破之一” 。肖梁在數(shù)論和算術(shù)幾何的多個(gè)主要方向做出了非常深刻和有影響力的原創(chuàng)性工作，被認(rèn)為是相關(guān)領(lǐng)域的主要推動(dòng)者之一。
著名華人數(shù)學(xué)家張壽武感慨說(shuō)，“他們這批人的成功真是非常奇怪，一屆里突然出現(xiàn)了這么多人，以前沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)這種現(xiàn)象，之后也沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)，厲害就厲害在他們不是一個(gè)人，而是一批人……”他給予這群年輕人極高的評(píng)價(jià)，稱“他們每個(gè)人的水平都與我們相差無(wú)幾！他們是中國(guó)數(shù)學(xué)的未來(lái)，到他們的時(shí)代，應(yīng)該是中國(guó)數(shù)學(xué)最輝煌的時(shí)候。”
劉若川認(rèn)為，“黃金一代”某種程度上更意味著一個(gè)開(kāi)始，“證明我們也可以在學(xué)術(shù)上做到頂尖，并且還是成群涌現(xiàn)的。”他希望國(guó)內(nèi)能培養(yǎng)出更多的好學(xué)生，形成一個(gè)好的循環(huán) 。
年輕一代確實(shí)正在不斷涌現(xiàn)出來(lái) 。今年的阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的77名選手中，一半以上是00后，是四屆中獲獎(jiǎng)?wù)咂骄挲g最低的一屆。最年輕的獲獎(jiǎng)選手瞿霄宇年僅16歲，肖梁曾帶領(lǐng)他獲得2022IMO金牌。獲得金獎(jiǎng)的陳澤坤同樣是“黃金一代”劉若川的學(xué)生。

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肖梁覺(jué)得，當(dāng)下的不少學(xué)生要比他們當(dāng)年優(yōu)秀得多，“新生代有更好的環(huán)境，我相信一定會(huì)有非常好的數(shù)學(xué)家出現(xiàn)，中國(guó)數(shù)學(xué)將來(lái)也會(huì)更好。”
某種程度上，數(shù)學(xué)似乎也更偏愛(ài)年輕人。本屆大賽的另一位金獎(jiǎng)得主姚遠(yuǎn)，在本科階段就與自己的學(xué)弟、同樣是本屆銀獎(jiǎng)得主的張盛桐，聯(lián)合攻破了困擾數(shù)學(xué)界60年的難題——高維空間等角線數(shù)量最大值問(wèn)題，成果發(fā)表于數(shù)學(xué)四大頂刊之一的《數(shù)學(xué)年刊》。張盛桐覺(jué)得驚訝，“沒(méi)想到做了出來(lái)”，今年是他第四次參加阿里全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽，也是第四次獲得銀獎(jiǎng) 。

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姚遠(yuǎn)（左）和張盛桐（右）
培養(yǎng)出“黃金一代”之后，北大數(shù)院的教授們常常會(huì)被問(wèn)及人才培養(yǎng)的方法，但中國(guó)科學(xué)院院士、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授張平文卻說(shuō)，“北大數(shù)院的天才不是培養(yǎng)出來(lái)的，而是保護(hù)出來(lái)的。”
在他看來(lái)，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的人要有天賦，也要有情懷。作為教育者的重要使命，就是找到這樣的人才，保護(hù)他們，為他們創(chuàng)造最適宜的環(huán)境讓他們自由成長(zhǎng) 。
興趣才是最重要的，幾乎所有的參賽選手在談及數(shù)學(xué)時(shí)都提到了數(shù)學(xué)的美妙。姚遠(yuǎn)最喜歡的數(shù)學(xué)公式是卡特蘭數(shù)，他醉心于尋找不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系和結(jié)構(gòu) 。張盛桐說(shuō)，數(shù)學(xué)最美妙的地方在于，“必然中存在著偶然，偶然中存在著必然”，仿佛就是上帝刻在宇宙里的。
也有一些有趣的發(fā)現(xiàn)，那個(gè)一直被人們視作是愛(ài)情象征的“笛卡爾心形線”，陳澤坤卻總覺(jué)得它更像是屁股。
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如果套用田徑比賽來(lái)形容數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽就是一場(chǎng)有著明確終點(diǎn)、明確時(shí)間的短跑，但數(shù)學(xué)研究卻是一場(chǎng)沒(méi)有盡頭的馬拉松。
即使是那些被公認(rèn)為天才的人，在數(shù)學(xué)道路上往往也不是一帆風(fēng)順。張益唐，憑一己之力完成了“孿生素?cái)?shù)猜想”的證明，是世界頂尖的數(shù)學(xué)家，而在那之前他半生潦倒，博士畢業(yè)后在賽百味做過(guò)會(huì)計(jì)，證明發(fā)表時(shí)只是一個(gè)普通的大學(xué)講師，再過(guò)幾年就要退休了。
失敗無(wú)處不在。還在北京大學(xué)讀博的陳澤坤說(shuō)，做研究的日常就是在死路和死路之間找到那條唯一的通路，“像走迷宮一樣，一個(gè)很大的迷宮，只有一條路能出去。”
北大數(shù)院每年招收的學(xué)生中，也只有少部分才會(huì)從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究，大多數(shù)會(huì)分流至計(jì)算或應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、金融、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域。肖梁介紹說(shuō)，方向完全是學(xué)生自主選擇，“我們沒(méi)有名額限制，完全是自愿的。”
“不能說(shuō)選擇基礎(chǔ)數(shù)學(xué)才是正確的，而是要看他的喜好是什么。”肖梁說(shuō)，需要有人去研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，但同樣需要有人去研究怎么把基礎(chǔ)數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)際生活中去。
事實(shí)上，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)從來(lái)都不是對(duì)立的。印臥濤說(shuō)，“很難做一個(gè)區(qū)分。比如說(shuō)最早的正數(shù)和負(fù)數(shù)，幾百年前，你會(huì)覺(jué)得研究負(fù)數(shù)的人是‘無(wú)用’之功，但現(xiàn)在卻大量用在科學(xué)、會(huì)計(jì)上。又比如實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，現(xiàn)在電網(wǎng)使用交流電就需要用復(fù)數(shù)做表達(dá) 。”

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就像是過(guò)去一百年中數(shù)學(xué)不斷奠定了現(xiàn)代社會(huì)運(yùn)行的基礎(chǔ)一樣，那些曾被視作是純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的理論，在漫長(zhǎng)的歲月中漸漸成為了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一部分。
數(shù)學(xué)家也不是數(shù)學(xué)研究的唯一出路。獲得本屆阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)的程梓恒雖然就讀于北大數(shù)院，但他未來(lái)想做的是人工智能方向的研究。“因?yàn)榧词棺龀鰞?yōu)秀的AI工作，也需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，所以先來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)是個(gè)很好的選擇。”
【那些走在前面的普通人 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)】數(shù)學(xué)從來(lái)都不是一成不變的，但唯有它驅(qū)動(dòng)人們不斷求索的美妙是永恒的。獲得大賽優(yōu)秀獎(jiǎng)的李昊達(dá)形容數(shù)學(xué)的美妙說(shuō)，沙灘上有個(gè)小孩拿著貝殼在玩，小孩不知道為什么好玩，也說(shuō)不清楚。對(duì)于數(shù)學(xué)，他覺(jué)得自己就是那個(gè)沙灘上玩貝殼的小孩。