勒讓德多項式的意義
我想從余弦公式的角度談談勒讓德多項式。此處沒有用到大一高數以上的知識！
此處沒有用到大一高數以上的知識！
看到內文不要怕！
先引進一個生成函數的概念。
在大一的高數中我們學到，函數可以通過冪函數展開成冪級數。例如：
那么，考慮一個數列
，我們給他找來冪函數做掛衣架，把數列掛上去，就有
。
如果
，那么就把
叫做數列
的生成函數。例如
就是數列
的生成函數。
考慮這么一個物理情景：
一個有心二次力場（例如引力場，庫侖力場）中，有兩個粒子相互作用。一個粒子在
，一個粒子在
，出于一些對稱性的考慮，我們采用球坐標，并固定其坐標原點在有心力場的原點
（例如以原子核所在的點）。試求其相互作用的能量，并將其用兩粒子的坐標
以及兩粒子與原點構成的夾角
表示出來。
我們知道，二次有心力場的能量可寫成
（最后一個等號假設了
，該條件在某些情況下自然滿足，例如在自然單位制下求解兩電子間勢能時
）
由高中所學的余弦定理，我們有
提出
，我們有
令
，則原式化為
而Legendre多項式
這個多項式數列是怎么定義的呢？通過生成函數的定義恰恰是這樣的！
借由該定義我們隨即就可以寫出：
考慮到該生成函數定義的收斂域原因，
，因此我們提出
時，提出的永遠是距有心力中心點較遠者對應的
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