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線性代數(shù)：如何求特征值和特征向量？

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，掌握方法很重要 。下面就為大家慢慢解析，如何求特征值和特征向量 。

特征值和特征向量的相關(guān)定義01

首先我們需要了解特征值和特征向量的定義，如下圖；


線性代數(shù)：如何求特征值和特征向量？
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02

齊次性線性方程組和非其齊次線性方程組的區(qū)別，如下圖；


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03

特征子空間的定義，如下圖；


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04

特征多項(xiàng)式的定義，如下圖；


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05

特征值的基本性質(zhì)，如下圖；


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齊次線性方程組解法01

齊次線性方程組的特征就是等式右邊為0，以消元法簡(jiǎn)化；


線性代數(shù)：如何求特征值和特征向量？
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02

在初等數(shù)學(xué)方程組中都是有唯一解的，而在線性代數(shù)中，我們把這種情況稱為方程組“系數(shù)矩陣的秩為1”，記為r(A)=1，當(dāng)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組只有零解 。由于上訴方程組有兩個(gè)未知數(shù)，而r(A)=1<2，所以此組有無(wú)數(shù)個(gè)解 。設(shè) y=2 ,則 x=1；再設(shè)k為任意常數(shù)，則 x=k, y=2k為方程組的解，寫成矩陣的形式為：


線性代數(shù)：如何求特征值和特征向量？
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非齊次線性方程組解法01

【線性代數(shù)：如何求特征值和特征向量？】非齊次線性方程組因?yàn)椴坏扔?，看起來(lái)很復(fù)雜，其實(shí)方法還是先用消元法簡(jiǎn)化步驟；


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02

這一次進(jìn)行初等行變換后，對(duì)于任意的非齊次線性方程組，當(dāng) r(A)=r(A|b)=未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解；當(dāng) r(A)=r(A|b)<未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，非齊次線性方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng) r(A) ≠r(A|b) 時(shí)，非齊次線性方程組無(wú)解 。可見 r(A)=r(A|b)=3，所以[A|b]有唯一解，寫回方程組形式：


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例題解析01

求下列矩陣的特征值和特征向量；


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02

求矩陣特征值和特征向量的一般解法；


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03

試證明A的特征值唯有1和2；


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04

證明性問(wèn)題還是需要解出特征值 。


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關(guān)于特征值與特征向量的理解01

對(duì)于特征值與特征向量，總結(jié)起來(lái)大概分為三種理解：


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